Аффинные преобразования: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
D'ohBot (обсуждение | вклад) м робот косметические изменения |
||
Строка 1:
:<small>Исходная версия статьи была написана Ворожцовым А. В. как методическое пособие для [http://www.phtc.ru Физтех-колледжа] </small>
== Определение аффинных преобразований ==
Давайте поговорим о растяжениях и сжатиях плоских фигур.
Строка 44:
Частным случаем аффинных преобразований являются просто движения
(без какого-либо сжатия или растяжения).
Движения
повороты, различные симметрии и их комбинации.
Другой важный случай аффинных преобразований
это растяжения и сжатия относительно прямой.
Строка 54:
различные аффинные преобразования этой плоскости.
[[
'''Рисунок 1. Примеры движений.'''
[[
'''Рисунок 2. Примеры аффинных преобразований.'''
Строка 69:
<b>Определение 2.</b>
{{Рамка}}
Множество движений есть подмножество множества аффинных преобразований.<br />
<center><math>Mot \subset Aff.\,\!</math></center>
{{Акмар}}
Строка 82:
разные точки переходят в разные, и образ любой прямой есть прямая.
Это интуитивно ясно
своей формы и размеров, а меняют лишь своё положение на плоскости.
Также и прямые будут сохранять свою форму
Движение можно представлять как перемещение листка бумаги с рисунком
по парте. При движении разные точки остаются разными,
Строка 92:
''Конец доказательства.''
== Растяжения и сжатия ==
{{Рамка}}
Строка 103:
совпадают. Если коэффициент <math>k\,\!</math> положительный, то точки
<math>M\,\!</math> и <math>M'\,\!</math> лежат по одну сторону от прямой <math>l\,\!</math>,
если отрицательный
{{Акмар}}
[[
'''Рисунок 3. Сжатия и растяжения относительно прямой.'''
Строка 160:
координаты новых точек будут удовлетворять уравнению
<center><math>y'=ka x'\,\!</math></center>
на прямой <math>y=k a x\,\!</math>.
Строка 201:
[[
<b>Рисунок 4. При параллельном проектировании с одной плоскости на
Строка 209:
''Задача 2[10]''
Докажите, что при параллельной проекции фигуры с одной плоскости на другую, фигура на второй<br />
1) совпадает с тем, что изображено на первой, если плоскости параллельны;<br/>
2) является растяжением (сжатием) того, что изображено на первой плоскости,
относительно прямой пересечения плоскостей, если плоскости пересекаются.
== Гомотетия ==
Есть еще важный класс аффинных преобразований
растяжения относительно точки. Они называются преобразованиями подобия
или '''гомотетиями'''.
Строка 268:
Конец решения
[[
<b>Рисунок 5. Гомотетия как проекция фигуры с одной плоскости на
Строка 312:
''Подсказка'' Смотрите рисунок 6.
[[
'''Рисунок 6. Из двух растяжений вдоль перпендикулярных направлений получается гомотетия.'''
Строка 324:
Докажите, что при гомотетии окружности переходят в окружности,
а правильные треугольники
Решение
Строка 347:
но относительно другой точки.
== Что аффинные преобразования сохраняют? ==
Из определения аффинных преобразований видно, что они сохраняют
прямые и свойство различия двух точек:
<center><math>A\ne B, f\in Aff \Rightarrow f(A)\ne f(B),\,\!</math></center>
<center><math>l\,\!</math>
Эти два свойства можно обозначить так:
[[
Строка 371:
Эти свойства можно обозначить так:
<center><math>3^\circ\quad f,g\in Aff \Rightarrow (f\circ g)\in Aff. \,\!</math><br />
<math>4^\circ\quad f\in Aff \Rightarrow f^{-1} \in Aff.\,\!</math></center>
{{Акмар}}
Строка 380:
''Примечание'' Преобразование инверсии сохраняет свойство окружности
и углы между кривыми. Другой тип преобразований
расстояния. Движения, аффинные преобразования и инверсию можно грубо определить так:
Строка 398:
Эти свойства можно обозначить так:
[[
Решение
Строка 421:
<math>8^\circ\,\!</math> трапеция переходит в трапецию:
[[
[[
'''Рисунок 7. Отношение площадей сохраняется.'''
Строка 446:
{{Рамка}}
Пусть <math>{F'}_1\,\!</math> и <math>{F'}_2\,\!</math>
тогда отношения их площадей одинаковы, то есть
<center><math>S_{F_1}\,:\,S_{F_2} =S_{{F'}_1}\,:\,S_{{F'}_2} \,\!</math></center>
Строка 454:
[[
'''Рисунок 8. Отношение длин отрезков на прямой сохраняется.'''
Строка 509:
Другими словами, аффинные преобразования сохраняют свойство выпуклости.
== Что могут аффинные преобразования? ==
Итак, мы выяснили, что сохраняют аффинные преобразования. Теперь
посмотрим, на что они способны. Можно ли с помощью аффинного
преобразования из трапеции сделать квадрат? Или из
параллелограмма
сделать правильный треугольник? Постараемся выяснить, какими
деформирующими способностями обладают аффинные преобразования.
Строка 537:
правильного треугольника из него можно получить правильный треугольник с единичной стороной.
[[
'''Рисунок 9. Превращение треугольника в правильный.'''
Строка 550:
''Подсказка'' Обратите внимание на свойство <math>4^\circ\,\!</math>
и если мы смогли сделать из <math>A'B'C'\,\!</math> равносторонний треугольник, то и из равностороннего
можно с помощью аффинного преобразования получить обратно <math>A'B'C'\,\!</math>. Теперь
из <math>ABC\,\!</math> сделаем равносторонний, а из равностороннего
вспомним про свойство <math>3^\circ\,\!</math>.
Строка 587:
<b>Определение 6.</b>
{{Рамка}}
'''Эллипс'''
координатах задается уравнением
Строка 595:
<b>Определение 7.</b>
{{Рамка}}
'''Эллипс'''
{{Акмар}}
Строка 618:
Пусть дана прямая <math>l\,\!</math> и точка <math>A\,\!</math> на ней. Преобразование
<math>f\,\!</math>
Докажите, что после аффинного преобразования <math>f\,\!</math> можно
применить движение (параллельный перенос и поворот) так, что в итоге
Строка 678:
<b>Определение 8.</b>
{{Рамка}}
'''Парабола'''
имеет уравнение
<center><math>y=ax^2+bx+c,\quad a\ne 0.\,\!</math></center>
Строка 685:
''Задача 34[11]''
Докажите, что множество всех парабол
которые можно получить из параболы <math>y=x^2\,\!</math> при помощи аффинных
преобразований.
Строка 692:
<b>Определение 9.</b>
{{Рамка}}
'''Гипербола'''
имеет уравнение
<center><math>yx=a,\quad a \ne 0,\,\!</math>
Строка 701:
''Задача 35[11]''
Докажите, что множество всех гипербол
которые можно получить из гиперболы <math>yx=1\,\!</math> при помощи аффинных
преобразований.
== Методы решения задач с помощью аффинных преобразований ==
''Задача 36[9]''
Строка 741:
На сторонах треугольника <math>ABC\,\!</math> поставлены точки, которые делят эти стороны
в отношении <math>1:3\,\!</math>.
на <math>CA\,\!</math>
и <math>AC_1=3\cdot C_1B\,\!</math>, <math>BA_1=3\cdot A_1C\,\!</math>, <math>CB_1=3B_1A\,\!</math>.
Площадь треугольника <math>ABC\,\!</math> равна <math>1\,\!</math>. Чему равна площадь треугольника <math>A_1B_1C_1\,\!</math>?
Строка 766:
Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие
противоположную
Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины
шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной
Строка 777:
На сторонах <math>AB\,\!</math>, <math>BC\,\!</math>, <math>CD\,\!</math> параллелограмма <math>ABCD\,\!</math> взяты точки
<math>K\,\!</math>, <math>L\,\!</math>, <math>M\,\!</math> соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях.
Пусть <math>b\,\!</math>, <math>c\,\!</math>, <math>d\,\!</math>
параллельно прямым <math>KL\,\!</math>, <math>KM\,\!</math>, <math>ML\,\!</math> соответственно.
Докажите, что прямые <math>b\,\!</math>, <math>c\,\!</math>, <math>d\,\!</math> проходят через одну точку.
[[Категория:
[[Категория: | |||