Аффинные преобразования: различия между версиями

м
робот косметические изменения
м (робот косметические изменения)
:<small>Исходная версия статьи была написана Ворожцовым&nbsp;А.&nbsp;В. как методическое пособие для [http://www.phtc.ru Физтех-колледжа] </small>
 
== Определение аффинных преобразований ==
 
Давайте поговорим о растяжениях и сжатиях плоских фигур.
Частным случаем аффинных преобразований являются просто движения
(без какого-либо сжатия или растяжения).
Движения &mdash; это параллельные переносы,
повороты, различные симметрии и их комбинации.
 
Другой важный случай аффинных преобразований &mdash;
это растяжения и сжатия относительно прямой.
 
различные аффинные преобразования этой плоскости.
 
[[ИзображениеФайл:motexamples.jpg]]
 
'''Рисунок 1. Примеры движений.'''
 
[[ИзображениеФайл:affexamples.jpg]]
 
'''Рисунок 2. Примеры аффинных преобразований.'''
<b>Определение 2.</b>
{{Рамка}}
Множество движений есть подмножество множества аффинных преобразований.<br />
<center><math>Mot \subset Aff.\,\!</math></center>
{{Акмар}}
разные точки переходят в разные, и образ любой прямой есть прямая.
 
Это интуитивно ясно &mdash; при движении фигуры вообще не меняют
своей формы и размеров, а меняют лишь своё положение на плоскости.
Также и прямые будут сохранять свою форму &mdash; оставаться прямыми.
Движение можно представлять как перемещение листка бумаги с рисунком
по парте. При движении разные точки остаются разными,
''Конец доказательства.''
 
== Растяжения и сжатия ==
 
{{Рамка}}
совпадают. Если коэффициент <math>k\,\!</math> положительный, то точки
<math>M\,\!</math> и <math>M'\,\!</math> лежат по одну сторону от прямой <math>l\,\!</math>,
если отрицательный &mdash; то по разные.
{{Акмар}}
 
 
 
[[ИзображениеФайл:stretch.jpg]]
 
'''Рисунок 3. Сжатия и растяжения относительно прямой.'''
координаты новых точек будут удовлетворять уравнению
<center><math>y'=ka x'\,\!</math></center>
&mdash; это уравнение прямой. Итак образы точек прямой <math>y=a x\,\!</math> лежат
на прямой <math>y=k a x\,\!</math>.
 
 
 
[[ИзображениеФайл: parprojection.jpg]]
 
<b>Рисунок 4. При параллельном проектировании с одной плоскости на
''Задача 2[10]''
 
Докажите, что при параллельной проекции фигуры с одной плоскости на другую, фигура на второй<br />
1) совпадает с тем, что изображено на первой, если плоскости параллельны;<br/>
2) является растяжением (сжатием) того, что изображено на первой плоскости,
относительно прямой пересечения плоскостей, если плоскости пересекаются.
 
== Гомотетия ==
 
Есть еще важный класс аффинных преобразований &mdash; это сжатия и
растяжения относительно точки. Они называются преобразованиями подобия
или '''гомотетиями'''.
Конец решения
 
[[ИзображениеФайл:projection.jpg]]
 
<b>Рисунок 5. Гомотетия как проекция фигуры с одной плоскости на
''Подсказка'' Смотрите рисунок 6.
 
[[ИзображениеФайл:hom2.jpg]]
 
'''Рисунок 6. Из двух растяжений вдоль перпендикулярных направлений получается гомотетия.'''
 
Докажите, что при гомотетии окружности переходят в окружности,
а правильные треугольники &mdash; в правильные треугольники.
 
Решение
но относительно другой точки.
 
== Что аффинные преобразования сохраняют? ==
 
Из определения аффинных преобразований видно, что они сохраняют
прямые и свойство различия двух точек:
<center><math>A\ne B, f\in Aff \Rightarrow f(A)\ne f(B),\,\!</math></center>
<center><math>l\,\!</math> &mdash; прямая, <math> f\in Aff \Rightarrow f(l) \,\!</math>&mdash; прямая.</center>
Эти два свойства можно обозначить так:
 
[[ИзображениеФайл:Aff1.jpg|center]]
 
 
Эти свойства можно обозначить так:
 
<center><math>3^\circ\quad f,g\in Aff \Rightarrow (f\circ g)\in Aff. \,\!</math><br />
<math>4^\circ\quad f\in Aff \Rightarrow f^{-1} \in Aff.\,\!</math></center>
{{Акмар}}
 
''Примечание'' Преобразование инверсии сохраняет свойство окружности
и углы между кривыми. Другой тип преобразований &mdash; движения, они сохраняют
расстояния. Движения, аффинные преобразования и инверсию можно грубо определить так:
 
Эти свойства можно обозначить так:
 
[[ИзображениеФайл:aff2.jpg|center]]
 
Решение
<math>8^\circ\,\!</math> трапеция переходит в трапецию:
 
[[ИзображениеФайл:aff3.jpg|center]]
 
[[ИзображениеФайл:Spreserve.jpg|center]]
 
'''Рисунок 7. Отношение площадей сохраняется.'''
 
{{Рамка}}
Пусть <math>{F'}_1\,\!</math> и <math>{F'}_2\,\!</math> &mdash; образы фигур <math>F_1\,\!</math> и <math>F_2\,\!</math> при некотором аффинном преобразованиии,
тогда отношения их площадей одинаковы, то есть
<center><math>S_{F_1}\,:\,S_{F_2} =S_{{F'}_1}\,:\,S_{{F'}_2} \,\!</math></center>
 
 
[[ИзображениеФайл:equalintervals.jpg|center]]
 
'''Рисунок 8. Отношение длин отрезков на прямой сохраняется.'''
Другими словами, аффинные преобразования сохраняют свойство выпуклости.
 
== Что могут аффинные преобразования? ==
 
Итак, мы выяснили, что сохраняют аффинные преобразования. Теперь
посмотрим, на что они способны. Можно ли с помощью аффинного
преобразования из трапеции сделать квадрат? Или из
параллелограмма &mdash; квадрат? Из любого ли треугольника можно
сделать правильный треугольник? Постараемся выяснить, какими
деформирующими способностями обладают аффинные преобразования.
правильного треугольника из него можно получить правильный треугольник с единичной стороной.
 
[[ИзображениеФайл:afftr.jpg|center]]
 
'''Рисунок 9. Превращение треугольника в правильный.'''
 
 
''Подсказка'' Обратите внимание на свойство <math>4^\circ\,\!</math> &mdash; «обратное к аффинному аффинно»,
и если мы смогли сделать из <math>A'B'C'\,\!</math> равносторонний треугольник, то и из равностороннего
можно с помощью аффинного преобразования получить обратно <math>A'B'C'\,\!</math>. Теперь
из <math>ABC\,\!</math> сделаем равносторонний, а из равностороннего &mdash; <math>A'B'C'\,\!</math> и
вспомним про свойство <math>3^\circ\,\!</math>.
 
<b>Определение 6.</b>
{{Рамка}}
'''Эллипс''' &mdash; это фигура на плоскости, которая в подходящих декартовых
координатах задается уравнением
 
<b>Определение 7.</b>
{{Рамка}}
'''Эллипс''' &mdash; это фигура, которую можно получить из круга, применяя аффинное преобразование.
{{Акмар}}
 
 
Пусть дана прямая <math>l\,\!</math> и точка <math>A\,\!</math> на ней. Преобразование
<math>f\,\!</math> &mdash; произвольное аффинное преобразование.
Докажите, что после аффинного преобразования <math>f\,\!</math> можно
применить движение (параллельный перенос и поворот) так, что в итоге
<b>Определение 8.</b>
{{Рамка}}
'''Парабола''' &mdash; это фигура, которая в подходящих координатах
имеет уравнение
<center><math>y=ax^2+bx+c,\quad a\ne 0.\,\!</math></center>
''Задача 34[11]''
 
Докажите, что множество всех парабол &mdash; это множество всех фигур,
которые можно получить из параболы <math>y=x^2\,\!</math> при помощи аффинных
преобразований.
<b>Определение 9.</b>
{{Рамка}}
'''Гипербола''' &mdash; это фигура, которая в подходящих координатах
имеет уравнение
<center><math>yx=a,\quad a \ne 0,\,\!</math>
''Задача 35[11]''
 
Докажите, что множество всех гипербол &mdash; это множество все фигур,
которые можно получить из гиперболы <math>yx=1\,\!</math> при помощи аффинных
преобразований.
 
== Методы решения задач с помощью аффинных преобразований ==
 
''Задача 36[9]''
 
На сторонах треугольника <math>ABC\,\!</math> поставлены точки, которые делят эти стороны
в отношении <math>1:3\,\!</math>. А именно, на стороне <math>AB\,\!</math> поставлена точка <math>C_1\,\!</math>, на <math>BC\,\!</math> &mdash; точка <math>A_1\,\!</math>,
на <math>CA\,\!</math> &mdash; точка <math>B_1\,\!</math>,
и <math>AC_1=3\cdot C_1B\,\!</math>, <math>BA_1=3\cdot A_1C\,\!</math>, <math>CB_1=3B_1A\,\!</math>.
Площадь треугольника <math>ABC\,\!</math> равна <math>1\,\!</math>. Чему равна площадь треугольника <math>A_1B_1C_1\,\!</math>?
 
Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие
противоположную сторону треугольника на три равные части.
Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины
шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной
На сторонах <math>AB\,\!</math>, <math>BC\,\!</math>, <math>CD\,\!</math> параллелограмма <math>ABCD\,\!</math> взяты точки
<math>K\,\!</math>, <math>L\,\!</math>, <math>M\,\!</math> соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях.
Пусть <math>b\,\!</math>, <math>c\,\!</math>, <math>d\,\!</math> &mdash; прямые, проходящие через <math>B\,\!</math>, <math>C\,\!</math>, <math>D\,\!</math>
параллельно прямым <math>KL\,\!</math>, <math>KM\,\!</math>, <math>ML\,\!</math> соответственно.
Докажите, что прямые <math>b\,\!</math>, <math>c\,\!</math>, <math>d\,\!</math> проходят через одну точку.
 
[[Категория:Журнал_«Потенциал»]][[Категория:математикаЖурнал в журнале_«Потенциал»]]
[[Категория:Математика в журнале «Потенциал»]]
234

правки