54 Национальная олимпиада Болгарии по математике: различия между версиями

== Первый день ==

'''1.''' Найдите все тройки натуральных чисел

<math>\left( {x,y,z} \right)</math>, для которых

<math>\sqrt{\frac{{2005}}{{x + y}}} + \sqrt{\frac{{2005}}{{x + z}}} + \sqrt{\frac{{2005}}{{y + z}}}</math> &#8211;– натуральное число.

'''2.''' Окружности <math>k_1 </math> и <math>k_2 </math>

в точках А и В и касается <math>k_2 </math> в точке Х. Прямая ХТ пересекает <math>k_1 </math>

в точке S, и на дуге TS, не содержащей А и В, выбрана точка С. Пусть СY &#8211;– такая касательная к окружности <math>k_2 \left( {Y \in k_2 } \right)</math> , что отрезок CY не пересекает отрезка ST. Докажите, что если I &#8211;– точка пересечения прямых XY и SC , то

а) точки С, T, Y и I лежат на одной окружности;

'''3.''' Пусть M &#8211;– множество всех рациональных чисел из интервала (0;1). Существует ли подмножество A множества M такое, что любое число из M может быть представлено единственным образом в виде суммы нескольких различных (возможно и одного) чисел из A ?

== Второй день ==

'''4.''' Пусть <math>\Delta A'B'C'</math> получен из <math>\Delta ABC</math> поворотом вокруг точки С. Обозначим через М, Е и F середины отрезков <math>BA', AC, B'C</math> соответственно. Найдите <math>\angle EMF</math>, если <math>AC \ne BC</math> и EM = FM.

'''5.''' Для натуральных чисел t, a и b назовём (t,a,b) ? игрой игру двух соперников, при которой числа a и b остаются неизменными, а первое число тройки своим ходом игрок может уменьшить либо на a, либо на b. Ходят по очереди. Проигрывает тот, кто первый получит отрицательное число. Докажите, что существует бесконечно много t таких, что у первого игрока есть выигрышная стратегия (t,a,b) игре при любых a и b , сумма которых равна 2005.

'''6.''' Пусть a, b и c &#8211;– такие натуральные числа, что <math>c\left( {c^2 - c + 1} \right)</math>

делится на ab и a + b делится на <math>c^2 + 1.</math> Докажите, что одно из чисел a и b равно c, а другое равно <math>c^2 - c + 1.</math>

== Ответы и указания ==

'''1.''' Одно из чисел равно <math>2 \cdot 2005,</math> два других равны <math>14 \cdot 2005.</math>

Докажите, что каждое слагаемое &#8211;– число, обратное натуральному.

'''2.''' а) Покажите, например, что S &#8211;– середина дуги АВ. Тогда

с учётом а) следует <math>\Delta SXI \sim \Delta SIT</math>, откуда SA = SI.

Выведите отсюда подсчётом углов, что BI и CI &#8211;– биссектрисы внешних углов <math>\Delta ABC.</math>

Тогда множество A бесконечно и для любого i <math>a_{i + 1} = \frac{{a_1 }}{{2^i }}.</math>

Но рациональное число с нечётным знаменателем, взаимно-простым со знаменателем <math>a_1</math>, не представимо в указанном виде.

Докажите вначале, что <math>\Delta AA'C</math> &#8211;– равносторонний.

По условию <math>c\left( {c^2 - c + 1} \right) = pab,</math> <math>a + b = q\left( {c^2 + 1} \right).</math>

Для <math>x = pqa,</math> <math>y = pqb</math> <math>\frac{{xy}}{{x + y}} > c - 1,</math>