Интегральное исчисление/Некоторые часто используемые формулы: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
KleverI (обсуждение | вклад) |
KleverI (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 115:
Имеет место следующее [[w:Среднее степенное#Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом|неравенство]] (''неравенство Коши''):
{{Формула|<math>\frac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\ldots+\dfrac{1}{x_n}}\leqslant\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\leqslant\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}.</math>|Д1.51}}
== Абсолютная величина ==
[[Файл:Absolute value.svg|thumb|'''Рисунок Д1.2.''' График функции <math>\scriptstyle{y=|x|}</math>.]]
[[Файл:Geometrical interpretation of the absolute value.svg|thumb|'''Рисунок Д1.3.''' Геометрическая интерпретация модуля.]]
'''Абсолютной величиной''', или '''модулем''' <math>|x|</math> называется вещественнозначная непрерывная [[w:Кусочно-линейная функция|кусочно-линейная функция]] такая, что
{{Формула|<math>|x|=\begin{cases}x, & x\geqslant 0; \\ -x, & x<0.\end{cases}</math>|Д1.52}}
Альтернативное определение:
{{Формула|<math>|x|=\max\{x,\;-x\}.</math>|Д1.53}}
'''Модулем комплексного числа <math>z=x+yi</math>''' называется выражение вида:
{{Формула|<math>|z|=|x+yi|=\sqrt{(\mathrm{Re}\,z)^2+(\mathrm{Im}\,z)^2}=\sqrt{x^2+y^2}.</math>|Д1.53}}
Геометрически модуль числа <math>|x_1-x_2|</math> равен расстоянию между точками <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности, <math>|x|</math> — это расстояние от точки [[w:Вещественное число|вещественной прямой]] с координатами <math>x</math> до начала координат <math>O</math>.
=== Свойства ===
* {{Формула|<math>|x|\geqslant 0</math>, причём <math>|x|=0</math>, тогда и только тогда, когда <math>x=0</math>.|Д1.54}}
* {{Формула|<math>|x\cdot y|=|x|\cdot|y|.</math>|Д1.55}}
* {{Формула|<math>\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|},\quad y\neq 0.</math>|Д1.56}}
* Если существует <math>x^\alpha</math>, то
{{Формула|<math>|x^\alpha|=|x|^\alpha.</math>|Д1.57}}
* {{Формула|<math>\sqrt[2k]{x^{2k}}=|x|.</math>|Д1.58}}
* {{Формула|<math>\sqrt[2k+1]{-x}=-\sqrt[2k+1]{|x|}.</math>|Д1.59}}
* {{Формула|<math>|x+y|\leqslant|x|+|y|</math> — [[w:Неравенство треугольника|неравенство треугольника]].|Д1.60}}
: Имеет место и более общее свойство:
{{Формула|<math>|x+y+\ldots+z|\leqslant|x|+|y|+\ldots+|z|</math> или <math>\left|\sum_{i=1}^m x_i\right|\leqslant\sum_{i=1}^m|x_i|.</math>|Д1.61}}
* {{Формула|<math>||x|-|y||\leqslant|x-y|</math> — обратное неравенство треугольника.|Д1.62}}
== Методы уничтожения иррациональности ==
В некоторых задачах часто возникает потребность избавится от иррациональности в числителе или знаменателе в выражении вида <math>\frac{P}{Q}</math>, где <math>P</math> и/или <math>Q</math> содержит радикалы.
Основным методом уничтожения иррациональности является метод умножения на сопряжённый множитель.
Строка 123 ⟶ 147 :
'''Сопряжённым множителем''' относительно выражения <math>S</math>, содержащего радикалы, называется такое выражение <math>K\not\equiv 0</math>, что выражение <math>S\cdot K</math> не содержит радикалов.
* Для выражения вида
{{Формула|<math>S=\sqrt[n]{X^pY^q\cdot\ldots\cdot Z^l},</math>|Д1.
где <math>p,\;q,\;\ldots,\;l,\;n\in\N</math> и <math>p,\;q,\;\ldots,\;l<n</math>, сопряжённый множитель будет иметь вид:
{{Формула|<math>K=\sqrt[n]{X^{n-p}Y^{n-q}\cdot\ldots\cdot Z^{n-l}}.</math>|Д1.
Действительно, домножив <math>S</math> на <math>K</math>, получим:
{{Формула|<math>S\cdot K=X\cdot Y\cdot\ldots\cdot Z.</math>|Д1.
* Для выражения вида
{{Формула|<math>S=\sqrt[n]{X}\pm\sqrt[n]{Y}</math>|Д1.
сопряжённый множитель находится, исходя из формул (Д1.38)—(Д1.40).
Для выражения
{{Формула|<math>S=\sqrt[n]{X}-\sqrt[n]{Y}</math>|Д1.
сопряжённый множитель
{{Формула|<math>K=\sqrt[n]{X^{n-1}}+\sqrt[n]{X^{n-2}\cdot Y}+\ldots+\sqrt[n]{X\cdot Y^{n-2}}+\sqrt[n]{Y^{n-1}}.</math>|Д1.
Для выражения
{{Формула|<math>S=\sqrt[2k]{X}+\sqrt[2k]{Y}</math>|Д1.
сопряжённый множитель
{{Формула|<math>K=\sqrt[2k]{X^{2k-1}}-\sqrt[2k]{X^{2k-2}\cdot Y}+\ldots+\sqrt[2k]{X\cdot Y^{2k-2}}-\sqrt[2k]{Y^{2k-1}}.</math>|Д1.
Для выражения
{{Формула|<math>S=\sqrt[2k+1]{X}+\sqrt[2k+1]{Y}</math>|Д1.
сопряжённый множитель
{{Формула|<math>K=\sqrt[2k+1]{X^{2k}}-\sqrt[2k+1]{X^{2k-1}\cdot Y}+\ldots-\sqrt[2k+1]{X\cdot Y^{2k-1}}+\sqrt[2k+1]{Y^{2k}}.</math>|Д1.
В частности, для выражения
{{Формула|<math>S=\sqrt{X}\pm\sqrt{Y}</math>|Д1.
сопряжённый множитель равен:
{{Формула|<math>K=\sqrt{X}\mp\sqrt{Y},</math>|Д1.
а для выражения
{{Формула|<math>S=\sqrt[3]{X}\pm\sqrt[3]{Y}</math>|Д1.
имеет вид:
{{Формула|<math>K=\sqrt[3]{X^2}\mp\sqrt[3]{X\cdot Y}+\sqrt[3]{Y^2}.</math>|Д1.
Сопряжённый множитель для выражений вида
{{Формула|<math>S=\sqrt[n]{X}\pm\sqrt[m]{Y},</math>|Д1.
где <math>n\neq m</math>, можно найти по формулам, аналогичным указанным выше, если предварительно представить исходное выражение как:
{{Формула|<math>S=\sqrt[k]{X^p}\pm\sqrt[k]{Y^s},</math>|Д1.
где <math>k</math> — [[w:Наименьшее общее кратное|наименьшее общее кратное]] (НОК) чисел <math>m</math> и <math>n</math>; <math>p=\frac{k}{n},\;s=\frac{k}{m}</math>.
Также для преобразований бывает полезна формула сложного радикала:
{{Формула|<math>\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}},</math>|Д1.
где <math>A\geqslant 0,\;B\geqslant 0,\;A^2\geqslant B</math>.
При преобразовании радикалов важно помнить, что:
* {{Формула|<math>\sqrt[2k]{X^{2k}}=|X|;</math>|Д1.
* {{Формула|<math>\sqrt[2k+1]{-X}=-\sqrt[2k+1]{|X|}
| |||