Викиучебник

Интегральное исчисление/Некоторые часто используемые формулы: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Строка 58:
 
== Тождества сокращённого умножения ==
'''Разность квадратов:'''
{{Формула|<math>a^2-b^2=(a-b)(a+b).</math>|Д1.28}}▼
'''Бином Ньютона:'''
{{Формула|<math>(a+b)^n=a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\ldots+C_n^ka^{n-k}b^k+\ldots+b^n=\sum_{m=0}^n\binom{n}{m}a^{n-m}b^m,</math>|Д1.2928}}
[[Файл:PascalTriangleAnimated2.gif|thumb|'''Рисунок&nbsp;Д1.1.''' Первые 5 строк треугольника Паскаля.]]
где <math>C_n^m=\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}</math> — количество сочетаний из <math>n</math> элементов по <math>m</math> в каждом, или ''биномиальные коэффициенты''; <math>n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n</math> — факториал числа <math>n</math>. По определению, <math>0!=1</math>.
 
Для степени разности будем иметь:
{{Формула|<math>(a-b)^n=a^n-C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2-\ldots+(-1)^kC_n^ka^{n-k}b^k+\ldots+(-1)^nb^n.</math>|Д1.3029}}
 
Числа <math>C_n^m</math> образуют, так называемый ''[[w:Треугольник Паскаля|треугольник Паскаля]]''. Как видно из '''рисунка Д1.1''', каждая последующая строка образуется при добавлении по краям единиц и суммированием двух последовательных членов предыдущего ряда.
 
Частные случаи формул (Д1.2928) и (Д1.3029):
* {{Формула|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> — квадрат суммы;|Д1.3130}}
* {{Формула|<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math> — квадрат разности;|Д1.3231}}
* {{Формула|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> — куб суммы;|Д1.3332}}
* {{Формула|<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3</math> — куб разности;|Д1.3433}}
* {{Формула|<math>(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4</math> — биквадрат суммы;|Д1.3534}}
* {{Формула|<math>(a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4</math> — биквадрат разности.|Д1.3635}}
Формулу бинома можно обобщить на случай, так называемых ''мультиномов'':
{{Формула|<math>(a+b+\ldots+c)^n=\sum_{\begin{smallmatrix}k_1,\;k_2,\;\ldots,\;k_m\geqslant 0, \\ k_1+k_2+\ldots+k_m=n\end{smallmatrix}}\binom{n}{k_1,\;k_2,\;\ldots,\;k_m}a^{k_1}b^{k_2}\ldots c^{k_m},</math>|Д1.3736}}
где <math>\binom{n}{k_1,\;k_2,\;\ldots,\;k_m}=\frac{n!}{k_1!k_2!\ldots k_m!}</math> — ''обобщённые биномиальные коэффициенты'', или ''[[w:Мультиномиальный коэффициент|мультиномиальные коэффициенты]]''.
 
В частности,
{{Формула|<math>(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc.</math>|Д1.3837}}
При <math>n=3</math> мультиномиальные коэффициенты (в этом случае они называются «''триномиальные''») образуют ''пирамиду Паскаля''.
 
Исходя из правил деления многочленов, можно получить следующие формулы для алгебраической суммы степеней:
* {{Формула|<math>a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1});</math>|Д1.3938}}
* {{Формула|<math>a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k-1}b+a^{2k-2}b^2-\ldots-ab^{2k-1}+b^{2k}).</math>|Д1.4039}}
* {{Формула|<math>a^{2k}-b^{2k}=(a+b)(a^{2k-1}-a^{2k-2}b+a^{2k-3}b^2-\ldots+ab^{2k-2}-b^{2k-1});</math>|Д1.4140}}
В частности,
* {{Формула|<math>a^32-b^32=(a-b)(a^2+ab+b^2);</math> — разность квадратов;|Д1.4241}}
* {{Формула|<math>a^3+-b^3=(a+-b)(a^2-+ab+b^2);</math> — разность кубов;|Д1.4342}}
* {{Формула|<math>a^4-b^4=(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)=(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2).</math> — сумма кубов;|Д1.4443}}
* {{Формула|<math>a^4-b^4=(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)</math> — разность биквадратов.|Д1.44}}
 
== Средние величины ==
* '''Среднее арифметическое:'''
▲{{Формула|<math>a^2-b^2A=(a-b)(a\frac{x_1+b)x_2+\ldots+x_n}{n}.</math>|Д1.2845}}
* '''Среднее взвешенное:'''
{{Формула|<math>V=\frac{a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n}{a_1+a_2+\ldots+a_n},</math>|Д1.46}}
где <math>a_1+a_2+\ldots+a_n\neq 0</math>.
 
Среднее арифметическое является частным случаем среднего взвешенного при <math>a_1=a_2=\ldots=a_n=1</math>.
* '''Среднее геометрическое:'''
{{Формула|<math>G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}=(x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n)^\frac{1}{n},</math>|Д1.47}}
где <math>x_1\geqslant 0,\;x_2\geqslant 0,\;\ldots,\;x_n\geqslant 0</math>.
* '''Среднее взвешенное геометрическое:'''
{{Формула|<math>S=(x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2}\cdot\ldots\cdot x_n^{a_n})^\frac{1}{s},</math>|Д1.48}}
где <math>x_1\geqslant 0,\;x_2\geqslant 0,\;\ldots,\;x_n\geqslant 0</math>, <math>s=a_1+a_2+\ldots+a_n</math>.
 
Среднее геометрическое является частным случаем среднего взвешенного геометричесокго при <math>a_1=a_2=\ldots=a_n=1</math>.
* '''Среднее гармоническое:'''
{{Формула|<math>H=\frac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\ldots+\dfrac{1}{x_n}}.</math>|Д1.49}}
* '''Среднее квадратичное:'''
{{Формула|<math>K=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{n}}.</math>|Д1.50}}
Имеет место следующее [[w:Среднее степенное#Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом|неравенство]] (''неравенство Коши''):
{{Формула|<math>\frac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\ldots+\dfrac{1}{x_n}}\leqslant\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\leqslant\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n},</math>|Д1.51}}
Источник — https://ru.wikibooks.org/wiki/Интегральное_исчисление/Некоторые_часто_используемые_формулы