Интегральное исчисление/Некоторые часто используемые формулы: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
м переименовал «Интегральное исчисление/Некоторые часто используемые алгебраические формулы» в «[[Интегральное исчисление/Некоторые ча�
Нет описания правки
Строка 48:
{{Формула|<math>a^2-b^2=(a-b)(a+b).</math>|Д1.21}}
'''Бином Ньютона:'''
{{Формула|<math>(a+b)^n=a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\ldots+C_n^ka^{n-k}b^k+\ldots+b^n=\sum_{m=0}^n\binom{n}{m}a^{n-m}b^m,</math>|Д1.22}}
[[Файл:PascalTriangleAnimated2.gif|thumb|'''Рисунок&nbsp;Д1.1.''' Первые 5 строк треугольника Паскаля.]]
где <math>C_n^m=\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}</math> — количество сочетаний из <math>n</math> элементов по <math>m</math> в каждом, или ''биномиальные коэффициенты''; <math>n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n</math> — факториал числа <math>n</math>. По определению, <math>0!=1</math>.
 
Для степени разности будем иметь:
Числа <math>C_n^m</math> образуют, так называемый [[w:Треугольник Паскаля|треугольник Паскаля]]. Как видно из '''рисунка Д1.1''', каждая последующая строка образуется при добавлении по краям единиц и суммированием двух последовательных членов предыдущего ряда.
{{Формула|<math>(a+-b)^3n=a^3+3an-C_n^2b1a^{n-1}b+3abC_n^2a^{n-2}b^2-\ldots+(-1)^kC_n^ka^{n-k}b^3;k+\ldots+(-1)^nb^n.</math>|Д1.2423}}
 
Числа <math>C_n^m</math> образуют, так называемый ''[[w:Треугольник Паскаля|треугольник Паскаля]]''. Как видно из '''рисунка Д1.1''', каждая последующая строка образуется при добавлении по краям единиц и суммированием двух последовательных членов предыдущего ряда.
Частные случаи формулы (Д1.22):
 
{{Формула|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;</math>|Д1.23}}
Частные случаи формулыформул (Д1.22) и (Д1.23):
{{Формула|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3;</math>|Д1.24}}
{{Формула|<math>(a+b)^42=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^32ab+b^4.2</math> — квадрат суммы;|Д1.2524}}
{{Формула|<math>(a+-b)^2=a^2+-2ab+b^2;</math> — квадрат разности;|Д1.2325}}
{{Формула|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> — куб суммы;|Д1.26}}
{{Формула|<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3</math> — куб разности;|Д1.27}}
{{Формула|<math>(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4</math> — биквадрат суммы;|Д1.28}}
{{Формула|<math>(a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4</math> — биквадрат разности.|Д1.29}}
Формулу бинома можно обобщить на случай, так называемых ''мультиномов'':
{{Формула|<math>(a+b+\ldots+c)^n=\sum_{\begin{smallmatrix}k_1,\;k_2,\;\ldots,\;k_m\leqslant 0, \\ k_1+k_2+\ldots+k_m=n\end{smallmatrix}}\binom{n}{k_1,\;k_2,\;\ldots,\;k_m}a^{k_1}b^{k_2}\ldots c^{k_m},</math>|Д1.30}}
где <math>\binom{n}{k_1,\;k_2,\;\ldots,\;k_m}=\frac{n!}{k_1!k_2!\ldots k_m!}</math> — ''обобщённые биномиальные коэффициенты'', или ''[[w:Мультиномиальный коэффициент|мультиномиальные коэффициенты]]''.
 
В частности,
{{Формула|<math>(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc.</math>|Д1.31}}
При <math>n=3</math> мультиномиальные коэффициенты (в этом случае они называются «''триномиальные''») образуют ''пирамиду Паскаля''.