Теория музыки для математиков/Лад: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 3:
Следующим краеугольным камнем музыкальной теории является лад.
Ладом (mode, modus) называется последовательность (конечная) натуральных чисел, дающих в сумме 12.
Пример: <math>M = (2,3,2,2,3)</math> – один из ладов пентатоники.
Такое немудреное определение нуждается в дальнейшей конкретизации, поскольку в таком виде будет неузнаваемо для музыкантов.
Для начала интерпретация лада. Пусть M = (<math>m_i</math>), i=1,...,n, а <math>[s]</math> – произвольный звук. Тогда мы можем построить такую тональную последовательность:
<math>S = (s_i)</math>, <math>s_1=s</math>, <math>s_i = s_{i-1} + m_{i-1}</math>, <math>i=2,..,n</math> (7)
Будем называть S – последовательностью, порожденной ладом M, а отдельные <math>s_i</math>
Строка 23:
'''Доказательство.''' Обобщим на случай n элементов лада. Обозначим через x – количество полутоновых элементов лада, а через y – количество тоновых. Из того, что общее количество элементов – n следует, что x + y = n. Сумма же всех элементов составляет по определению лада 12: x + 2y = 12. Получаем такую систему уравнений:
<math>x + 2y = 12</math>
<math>x + y = n</math> (4)
Решая систему относительно x и y, получаем
<math>x = 2n
<math>y = 12
При <math>n=7</math> имеем <math>x = 2</math>, <math>y = 5</math>. Т.е. в семиступенном ладу с шагом 2 всегда два полутона и пять целых тонов.
Те места в последовательности, где встречаются x полутонов, можно выбрать таким количеством способов: (на остальных местах стоят, соответственно, целые тоны). Подставляя найденный выше x, получаем:
(Симметрично можно прийти к этому выводу отталкиваясь от y, а не от x).
| |||