Теория музыки для математиков/Лад: различия между версиями

 

'''Лемма 4.''' Существует ровно 21 семиступенных ладов с шагом 2.

'''Доказательство.''' Обобщим на случай n элементов лада. Обозначим через x – количество полутоновых элементов лада, а через y – количество тоновых. Из того, что общее количество элементов – n следует, что x + y = n. Сумма же всех элементов составляет по определению лада 12: x + 2y = 12. Получаем такую систему уравнений:

x + 2y = 12

Наиболее интересны лады с диаметром 3 – они все имеют собственные имена. Для полноты картины приведем другие два класса в приложении.

Лады диаметра 3:

ионийский 2 2 1 2 2 2 1

дорийский 2 1 2 2 2 1 2

фригийский 1 2 2 2 1 2 2

лидийский 2 2 2 1 2 2 1

миксолидийский 2 2 1 2 2 1 2

эолийский 2 1 2 2 1 2 2

локрийский 1 2 2 1 2 2 2

 

Важной харакетеристикой семиступенного ряда является его наклонение. Наклонением лада называется свойство, определяемое расстоянием между I и III ступенями (т.е. <math>m_1 + m_2</math>). Лад, имеющий между I и III ступенью 2 тона (=4) называется мажорным, имеющий 1,5 тона (=3) – минорным. Примеры мажорных ладов: ионийский, лидийский, миксолидийский. Примеры минорных ладов: дорийский, фригийский, эолийский, локрийский.

В западно-европейской музыке в свое время стала доминировать мажорно-минорная ладовая система, в которой особую роль стали играть лады мажор (major) – ионийский лад из таблицы выше и минор (minor) – эолийский лад. Кроме классических мажора и минора используются еще такие вариации:

мелодический минор 2 1 2 2 2 2 1

нисходящий м.минор 2 1 2 2 1 3 1

гармонический минор 2 1 2 2 1 3 1

мелодический мажор 2 2 1 1 2 3 1

гармонический мажор 2 2 1 2 1 3 1