Теория музыки для математиков/Лад: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 6:
Такое немудреное определение нуждается в дальнейшей конкретизации, поскольку в таком виде будет неузнаваемо для музыкантов.
Для начала интерпретация лада. Пусть M = (<math>m_i</math>), i=1,...,n, а [s] – произвольный звук. Тогда мы можем построить такую тональную последовательность:
<math>S = (s_i), s_1=s, s_i = s_{i-1} + m_{i-1}, i=2,..,n</math> (7)
Будем называть S – последовательностью, порожденной ладом M, а отдельные <math>s_i</math> - ступенями этой последовательности (или самого лада). Ступени обычно обозначаются римскими цифрами: I, II, III, IV, .... Поскольку <math>s_i-s_{i-1} = m_i</math>, видно, что
Легко заметить, что – частичная сумма лада M, обозначим ее <math>S_i(M)</math>. (Для i=1 положим <math>S_1(M) = 0</math>.) По определению лада <math>S_n(M) = 12</math>. Если мы воспользуемся (7) для нахождения n+1-го члена последовательности, то получим <math>s_{n+1}-s_0 = S_n(M) = 12</math>. А значит <math>[s_{n+1}] = [s_1] = [s]</math>, т.е. эти звуки в нашем тональном множестве совпадают. Таким образом, лад порождает «замкнутую» последовательность из n элементов.
Пример. Возьмем такой лад: M = (2, 2, 1, 2, 2, 2, 1). (Позже мы назовем этот лад мажором.) Возьмем за начальный звук s=7 (G по нашим обозначениям). Рассмотрим последовательность, порождаемую мажором с началом в звуке G:
(7=G, 7+2=9=A, 9+2=11=H, 11+1=12=0=C, 0+2=2=D, 2+2=4=E, 4+2=6=#F) =
Строка 14 ⟶ 17 :
Шагом лада <math>M = (m_i), i=1..n</math> называется max(mi), i=1..n.
В основном нас будут интересовать лады с шагом 2 (такие лады содержат только единицы и двойки, соответственно – тоны и полутоны), иногда – также с шагом 3.
'''Лемма 4.''' Существует ровно 21 семиступенных ладов с шагом 2.
'''Доказательство.''' Обобщим на случай n элементов лада. Обозначим через x – количество полутоновых элементов лада, а через y – количество тоновых. Из того, что общее количество элементов – n следует, что x + y = n. Сумма же всех элементов составляет по определению лада 12: x + 2y = 12. Получаем такую систему уравнений:
x + 2y = 12
x + y = n (4)
| |||