|
Я считаю что [[Участник:Самохвалов|Cамохвалов]] тупой [[гомосексуал]]ист-педераст что [[Участник:Lvova|Анастасия Львова]] идиотка и она трахалась со [[Сталин]]ым и за это её ебали нацистские генералы [[Гитлер]]а ещё Самохвалова отъебли немцы-[[фашисты]] в немецком концлагере а потом отправили его в [[газенваген]]!
: Исходный вариант статьи (М. Г. Иванов, «Размер и размерность») опубликован в августовском номере 2006 года [[Журнал «Потенциал»|журнала «Потенциал»]].
{{Эпиграф|Под микроскопом он открыл, что на блохе<br/>
Живёт блоху кусающая блошка;<br/>
На блошке той блошинка-крошка,<br>
В блошинку же вонзает зуб сердито<br>
Блошиночка, и так ad infinitum.
|[[w:Свифт, Джонатан|Джонатан Свифт]]}}
== Чем отличаются друг от друга длина, площадь и объём? ==
Все мы знаем, что складывать между собой величины, измеренные в разных единицах нельзя. Не все, впрочем, понимают почему. Вроде бы и длина, и площадь, и объём измеряются в метрах, вот только в одном случае метр линейный, в другом квадратный, а в третьем кубический. А какая нам собственно разница?
Разница проявляется, если мы захотим перейти от метров к сантиметрам.
1 м = 100 см = 100<sup>1</sup> см<sup>1</sup>,
1 кв. м. = 1 м<sup>2</sup> = 1 м × 1 м = 100 см × 100 см = 10000 см × см = 100<sup>2</sup> см<sup>2</sup>,
1 куб. м. = 1 м<sup>3</sup> = 1 м × 1 м × 1 м = 100 см × 100 см × 100 см = 1000000 см × см × см = 100<sup>3</sup> см<sup>3</sup>.
Если мы сложим квадратные метры с линейными, то будет не ясно, в чём будет измеряться результат, а значит, будет не ясно на какое число умножать ответ при переходе от метров к сантиметрам. Значит, складывать длину и площадь нельзя.
Не обязательно изменять единицу длины именно в сто раз.
[[Изображение:123D.jpg]]
При изменении единицы длины в 3 раза единица площади изменится в <math>3^2 = 3 \cdot 3 = 9</math> раз, а единица объёма в <math>3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27</math> раз. Таким образом, мы можем «разобрать» большой отрезок на <math>3^1</math> отрезков в 3 раза меньшей длины, большой квадрат на <math>3^2</math> квадратов в 3 раза меньших по линейным размерам, большой куб на <math>3^3</math> кубиков в 3 раза меньших по линейным размерам. Во всех перечисленных случаях мы «разбираем» фигуру на набор равных между собой по размеру меньших фигурок, подобных большой фигуре. Степень, в которую возводится изменение линейного масштаба, называется размерностью. Таким образом, отрезок – одномерен, квадрат – двумерен, куб – трёхмерен.
== Уже не длина, но ещё не площадь ==
Существуют ли фигуры, размерность которых не является целой, то есть может ли оказаться, что большая фигура разбирается на <math>n</math> одинаковых фигурок поменьше, каждая их которых подобна исходной и отличается от неё по линейным размерам в <math>k</math> раз, причём <math>n = k^d</math>, где число <math>d</math> не является целым? Оказывается, что такие фигуры существуют и называются самоподобными фракталами.
Например, следующую фигуру мы можем «разобрать» на 8 подобных, каждая из которых меньше по линейным размерам в 3 раза. Эта фигура называется «салфетка Серпинского».
[[Изображение:serpin.jpg]]
Таким образом, <math>8=3^d</math>, или (вспомнив определение логарифма) <math>d = \log_3 8 = \frac{\ln 8}{\ln 3} \approx 1{,}89\dots</math>
Как строится такая салфетка Серпинского? Квадрат разбивается на 9 маленьких квадратиков, после чего выкидывается средний квадратик, потом аналогичная процедура проделывается для каждого из 8 оставшихся квадратиков (в 3 раза меньших размеров), потом для каждого из 64 квадратиков (в 9 раз меньших размеров) и так далее (бесконечное число раз).
[[Изображение:4serp.jpg]]
На каждом шаге площадь фигуры уменьшается на <math>\frac{1}{9}</math>, то есть, если мы начали с единичного квадрата, площадь фигуры на шаге номер <math>N</math> равна <math>S = \left( \frac{8}{9} \right)^N</math>. А площадь получающегося в результате фрактала равна <math>S = \frac{8}{9} \cdot \frac{8}{9} \cdots \frac{8}{9} \cdots = 0</math>. Может быть, там вовсе нет никакой фигуры, раз площадь оказалась нулевой? Нет, мы можем доказать, что выкинуты оказались не все точки квадрата (докажите это в качестве упражнения, при этом удобно использовать троичную систему счисления, для записи координат точек квадрата). Для такой фигуры нетривиальное (конечное) значение будет иметь не длина периметра (бесконечная), и не площадь (нулевая), а некая мера («мера Минковского»), измеряющееся в единицах 1 см<sup>d</sup> Если принять, что мера Минковского для квадрата <math>a \cdot a</math> равна <math>a^d</math>, то мера салфетки Серпинского оказывается равна 1 (на шаге номер <math>N</math> мы имеем <math>8^N</math> квадратиков со стороной <math>\left( \frac{1}{3} \right)^N</math> и мера <math>S_{\mathrm{Mink.}\ N} = 8^N \left( \left( \frac{1}{3} \right)^N \right)^d = 1</math>).
По некоторому размышлению полезно обобщить приведённое выше определение самоподобного фрактала и позволить ему иметь целые размерности, например процедура, изображённая на следующей серии рисунков, приводит к построению фигуры с размерностью 1 (Почему?), но естественно считать эту фигуру фракталом (данный пример принадлежит Магди Мохамеду). (Попутно во фракталы попадают и обычные отрезки, квадраты, треугольники.)
[[Изображение:frac.jpg]]
В заключение приведём (в качестве иллюстрации и упражнения по вычислению размерности самоподобных фракталов) ещё три фигуры.
Треугольник Серпинского.
[[Изображение:tregSerp.jpg]]
Ещё один вариант салфетки Серпинского.
[[Изображение:salf.jpg]]
[[w:Кривая Кох|Кривая Коха]].
[[Изображение:krivayakoha.jpg]]
Строится кривая Коха так:
[[Изображение:postr.jpg]]
[[Категория:журнал «Потенциал»]][[Категория:математика в журнале «Потенциал»]]
| 