Задачи на столкновения и законы сохранения импульса и энергии: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Foo897897 (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
м Правки ГрознаяРазводнаяЛьвова (обсуждение) откачены к версии |
||
Строка 1:
:<small>Автор исходного текста — В. И. Плис, к. ф.-м. н., доцент кафедры общей физики МФТИ, Соровский учитель.</small>
В статье на основе законов сохранения импульса и энергии рассматриваются неупругие и упругие столкновения макроскопических тел и объектов в микромире. Анализированы энергетические превращения при неупругих столкновениях. Показана техника исследования упругих столкновений в системе центра масс. Рассматриваются упругие и неупругие процессы в микромире; как в рамках [[w:классическая физика|классической физики]], так и с привлечением элементарных сведений по [[w:квантовая физика|квантовой физике]] и [[w:Специальная теория относительности|специальной теории относительности]].
== Введение ==
В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном – как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии свободны. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют, при чём могут происходить различные процессы: соединение в одно тело (абсолютно неупругий удар), возникновение новых тел и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими.
[[Изображение:potphys0.jpg|right|]]
Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения) [[w:импульс|импульсами]], [[w:энергия|энергиями]]. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. [[w:Законы сохранения|Законы сохранения]] энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценно здесь то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в [[w:физика элементарных частиц|физике элементарных частиц]].
Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими – уже хотя бы потому, что сопровождаются нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в [[w:тепло|тепло]]. Но понятие об упругих столкновениях играет важную роль в физике, поскольку со столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.
Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, когда входящие в систему тела не действуют внешние силы, либо систему замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. В классической физике следует учитывать кинетическую и потенциальную энергии. В [[w:Релятивистский|релятивистском]] случае надо применять выражение для энергии (как иногда, например, пишут «учитывать энергию покоя»). Обращение к сохранению энергии требует порой учёта различных форм внутренней энергии.
Действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено всевозможными опытами.
Переходя к характерным примерам, напомним, что в физике при решении задач должна быть указана [[w:система отсчёта|система отсчёта]] (тело отсчёта, оси координат и часы), в которой рассматривается динамика процесса. Исследование столкновений традиционно проводится как в лабораторной системе отсчёта (<abbr>ЛСO</abbr>), то есть в инерциальной системе отсчёта, связанной с лабораторией, где проводится опыт, так и в системе центра масс, которая будет введена в статье. Напомним также, что центральным ударом шаров (шайб) называют удар, при котором скорости шаров (шайб) направлены вдоль прямой, проходящей через их центры.
== Неупругие столкновения ==
=== Задача № 1. ===<!-- Надо бы безликие "задачи номер " переименовать в что-то вроде "Задача на столкновение с неподвижной частицей" ~~~ -->
{{Рамка}}
Частица массой <math>m\,\!</math> с кинетической энергией <math>K\,\!</math> сталкивается с неподвижной частицей массой <math>M\,\!</math>. Найдите приращение <math>Q\,\!</math> внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно неупругого столкновения.
{{Акмар}}
'''Решение.'''
Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел в ЛСО. Налетающая частица движется до столкновения в положительном направлении оси OX со скоростью <math>\vec V\,\!</math>, кинетическая энергия частицы <math>K = {{mV^2 } \over 2}\,\!</math>. В результате абсолютно неупругого удара (слипания) частицы движутся с одинаковой скоростью <math>\vec u\,\!</math>. По закону сохранения импульса <math>mV = (m + M)u\,\!</math>,по закону сохранения энергии <math>{{mV^2 } \over 2} = {{(m + M)u^2 } \over 2} + Q\,\!</math>. Из приведённых соотношений находим <math>Q = {M \over {m + M}}K\,\!</math>.
Отметим, что в предельных случаях <math> Q = K, m << M; Q = {M \over m}K << K, m >> M \,\!</math>.
Как видим, при неупругом столкновении лёгкой частицы с массивной? например, [[w:электрон|электрона]] с [[w:атом|атомом]], происходит полная передача её кинетической энергии атому: атом возбуждается, а затем испускает фотон.
При равенстве масс <math>(m = M)\,\!</math> <math> Q = {K \over 2}\,\!</math>.
Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых автомобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по направлению к нему, половина кинетической энергии идёт на разрушение.
=== Задача № 2. ===
{{Рамка}}
Найдите минимальную относительную скорость двух одинаковых метеоритов необходимую для их нагрева и полного испарения в результате абсолютно неупругого соударения. Удельная теплота нагревания и испарения вещества метеоритов <math>q = 10^6 \,\!</math> Дж/кг.
{{Акмар}}
'''Решение.'''
Рассмотрим в ЛСО абсолютно неупругий удар двух тел. Введём обозначения: <math>m_1 \,\!</math> и <math>m_2 \,\!</math> – массы тел, <math>\vec V_1 \,\!</math> и <math>\vec V_2\,\!</math> – их скорости до столкновения, <math>\vec V'\,\!</math> – скорость составного тела после столкновения. Считая, что в процессе столкновения импульс системы тел сохраняется (внешние силы отсутствуют), <math>m_1 \vec V_1 + m_2 \vec V_2 = (m_1 + m_2 )\vec V'\,\!</math>, находим скорость составного тела <math>\vec V' = {{m_1 \vec V_1 + m_2 \vec V_2 } \over {m_1 + m_2 }}\,\!</math>.
Кинетические энергии системы тел до взаимодействия и после равны соответственно <math>K_{before} = {m_1 V_1^2 \over 2} + {m_2 V_2^2 \over 2}\,\!</math> , <math>K_{after} = {(m_1+m_2)(V')^2\over 2}\,\!</math>.
Тогда убыль кинетической энергии системы после несложных преобразований принимает вид <math>K_{before}-K_{after} = {1\over 2} {m_1m_2\over m_1+m_2}(\vec V_2 - \vec V_1)^2 = {1\over 2}\mu(\vec V_{rel})^2\,\!</math>, где <math>\mu = {{m_1 m_2 } \over {m_1 + m_2 }}\,\!</math> – приведённая масса системы тел, <math>\vec V_{rel} = \vec V_2 - \vec V_1\,\!</math> относительная скорость. Таким образом, при абсолютно неупругом ударе в другие формы энергии переходит кинетическая энергия макроскопического движения, равная половине произведения приведённой массы на квадрат относительной скорости.
Вернёмся к задаче о минимальной относительной скорости метеоритов. Будем считать, что вся убыль кинетической энергии переходит в тепло, которое идёт на нагревание и испарение метеоритов, тогда <math>{1 \over 2}\mu (\vec V_{rel} )^2 = 2mq\,\!</math>. С учётом равенства масс сталкивающихся метеоритов <math>\mu = {m \over 2}\,\!</math>. Это приводит к оценке минимальной скорости <math>V_{rel} = 2\sqrt {2q} \approx 2,8 \cdot 10^3 \,\!</math>м/с.
=== Задача № 3. ===
{{Рамка}}
На гладком горизонтальном столе лежит твёрдая шайба. На неё на-летает мягкая, довольно упругая шайба такой же массы и между ними происходит центральный удар. Скорость мягкой шайбы после удара уменьшилась в 5 раз. Какая часть максимальной энергии де-формации перешла в тепло при этом ударе? Считайте, что тепло выделяется в мягкой шайбе в процессе деформации.
{{Акмар}}
'''Решение.'''
Задачу рассмотрим в ЛСО, ось OX которой направим по линии центров шайб в момент соударения. В процессе взаимодействия на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю, отсюда следует, что импульс системы шайб в результате соударения не изменяется <math>MV = M{V \over 5} + MV_X \,\!</math>.
Скорость твёрдой шайбы после удара <math>V_X = 0,8 \cdot V\,\!</math> (если предположить, что налетающая шайба после соударения движется в отрицательном направлении оси OX со скоростью <math>{V \over 5}\,\!</math>, то скорость твёрдой шайбы после соударения <math>V_X = 1,2 \cdot V\,\!</math> и её кинетическая энергия больше кинетической энергии налетающей шайбы). Найдём по закону сохранения энергии количество <math>Q\,\!</math> теплоты, которое выделится в мягкой шайбе за всё время удара,<math>{{MV^2 } \over 2} = {{M\left( {0,2 \cdot V} \right)^2 } \over 2} + {{M\left( {0,8 \cdot V} \right)^2 } \over 2} + Q\,\!</math>, отсюда <math>Q = 0,32 \cdot {{MV^2 } \over 2}\,\!</math>.
Вычислим максимальную энергию <math>E_{def}\,\!</math> деформации мягкой шайбы. Для этого заметим, что при максимальной деформации шайбы друг относительно друга не движутся. Тогда по закону сохранения импульса <math>MV = (M + M)V_* \,\!</math>, шайбы в момент максимальной деформации движутся в ЛСО со скоро-стью<math>V_* = V/2\,\!</math>. Естественно предположить, что теплота в равных количествах выделяется как при сжатии шайбы, так и при растяжении. Тогда по закону сохранения энергии в момент максимальной деформации <math>\frac{{MV^2}}{2} = \frac{{M\left( {0,5 \cdot V} \right)^2 }}{2} + \frac{{M\left( {0,5 \cdot V} \right)^2 }}{2} + \frac{Q}{2} + E_{def}\,\!</math>. Отсюда <math>E_{def} = 0,34 \cdot \frac{{MV^2 }}{2}\,\!</math>.
Искомое отношение <math>\frac{Q}{{E_{def} }} = \frac{{16}}{{17}}\,\!</math>.
== §2. Упругие столкновения ==
=== Задача № 4. ===
{{Рамка}}
На гладкой горизонтальной поверхности лежит шар массой <math>M.\,\!</math> На него налетает шар массой <math>m\,\!</math>, движущийся со скоростью <math>\vec V\,\!</math>. Между шарами происходит упругий центральный удар. Найдите скорости <math>\vec V_1 \,\!</math> и <math>\vec V_2 \,\!</math> шаров после соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении?
{{Акмар}}
'''Решение.'''
Задачу рассмотрим в ЛСО, ось OX которой направим по линии центров шаров в момент соударения. Внешние силы, действующие на шары в процессе соударения, это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно им-пульс системы шаров в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса <math>m\vec V = m\vec V_1 + M\vec V_2 \,\!</math>.
Переходя к проекциям на ось OX, получаем <math>mV = mV_{1X} + MV_2 \,\!</math>,
здесь учтено, что направление скорости <math>\vec V_1 \,\!</math> налетающего шара после соударения неизвестно. По закону сохранения энергии
<math>\frac{{mV^2 }}{2} = \frac{{mV_{1X}^2 }}{2} + \frac{{MV_2^2 }}{2}\,\!</math>.
Полученные соотношения перепишем в виде <math>m(V - V_{1X} ) = MV_2 \,\!</math>, <math>m(V^2 - V_{1X}^2 ) = MV_2^2 \,\!</math>.
Разделив второе равенство на первое, приходим к линейной системе <math>V_2 = V + V_{1X} \,\!</math>, <math>m(V - V_{1X} ) = MV_2 \,\!</math>, решение которой имеет вид
<math>V_{1X} = \frac{{m - M}}{{m + M}}V\,\!</math>, <math>V_2 = \frac{{2m}}{{m + M}}V\,\!</math>.
Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении (<math>V_{1X} > 0\,\!</math>) при <math>m > M\,\!</math>, т.е. если его масса больше массы покоящегося шара.
=== Задача № 5.===
{{Рамка}}
Две гладкие упругие круглые шайбы движутся по гладкой горизонтальной поверхности со скоростями <math>\vec V_1 \,\!</math> и <math>\vec V_2 \,\!</math>. Найдите скорости шайб после абсолютно упругого '''нецентрального''' соударения. Массы шайб <math>m_1 \,\!</math> и <math>m_2 \,\!</math>.
{{Акмар}}
'''Решение.'''
Задачу рассмотрим в ЛСО, оси координат OX и OY которой лежат в горизонтальной плоскости, при этом ось OX направлена по линии центров шайб в момент соударения (рис.1). В течение времени соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия сохраняется
<math>\vec p_1 + \vec p_2 = \vec p'_1 + \vec p'_2 \,\!</math>,
здесь и – импульсы шайб до и после соударения.
[[Изображение:potphys1.jpg]]<br>
Рис.1.
Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внутренние силы – силы упругого взаимодействия шайб – направлены только по оси OX . Эти силы не изменяют Y-составляющие импульсов шайб. Тогда из <math>p_{1Y} = p'_{1Y} \,\!</math>, <math>p_{2Y} = p'_{2Y} \,\!</math> находим Y-составляющие скоростей шайб после соударения
<math>V'_{1Y} = V_{1Y} \,\!</math>, <math>V'_{2Y} = V_{2Y} \,\!</math>,
т.е. в проекции на ось OY скорости шайб в результате соударения не изменились.
Найдём X-составляющие скоростей шайб после абсолютно упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия
<math>\frac{{m_1 \left( {V_{1X}^2 + V_{1Y}^2 } \right)}}{2} + \frac{{m_2 \left( {V_{2X}^2 + V_{2Y}^2 } \right)}}{2} = \,\!</math>
<math> = \frac{{m_1 \left( {\left( {V'_{1X} } \right)^2 + \left( {V'_{1Y} } \right)^2 } \right)}}{2} + \frac{{m_2 \left( {\left( {V'_{2X} } \right)^2 + \left( {V'_{2Y} } \right)^2 } \right)}}{2}.\,\!</math>
С учётом равенства Y-составляющих скоростей шайб до и после соударения последнее равенство принимает вид
<math>\frac{{m_1 V_{1X}^2 }}{2} + \frac{{m_2 V_{2X}^2 }}{2} = \frac{{m_1 \left( {V'_{1X} } \right)^2 }}{2} + \frac{{m_2 \left( {V'_{2X} } \right)^2 }}{2}\,\!</math>.
Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям импульсов шайб на ось OX
<math>m_1 V_{1X} + m_2 V_{2X} = m_1 V'_{1X} + m_2 V'_{2X} \,\!</math>.
Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упругом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохранения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагаемые, относящиеся к первой шайбе, а по другую – ко второй, и разделить полученные соотношения друг на друга. Это приводит к линейному уравнению вида
<math>V_{1x} + V'_{1X} = V_{2X} + V'_{2X} \,\!</math>.
Решая систему из двух последних уравнений, находим
<math>V'_{1X} = \frac{{(m_1 - m_2 )V_{1X} + 2m_2 V_{2X} }}{{m_1 + m_2 }}\,\!</math>,
<math>V'_{2X} = \frac{{2m_1 V_{1X} + (m_2 - m_1 )V_{2X} }}{{m_1 + m_2 }}\,\!</math>.
Полученные соотношения для <math>V'_{1X} ,V'_{1Y} \,\!</math> и <math>V'_{2X} ,V'_{2Y} \,\!</math> решают вопрос о величинах скоро-стей шайб после соударения
<math>V'_1 = \sqrt {\left( {V'_{1X} } \right)^2 + \left( {V'_{1Y} } \right)^2 } \,\!</math>, <math>V'_2 = \sqrt {\left( {V'_{2X} } \right)^2 + \left( {V'_{2Y} } \right)^2 } \,\!</math>,
и об углах <math>\alpha _1 \,\!</math> и <math>\alpha _2 \,\!</math>, которые векторы скоростей <math>\vec V'_1 \,\!</math> и <math>\vec V'_2 \,\!</math> образуют с положительным направлением оси OX,
<math>tg\alpha _1 = \frac{{V'_{1Y} }}{{V'_{1X} }}\,\!</math> , <math>tg\alpha _2 = \frac{{V'_{2Y} }}{{V'_{2X} }}\,\!</math>.
Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц). Приведём два примера.
=== Задача № 6.===
{{Рамка}}
Лёгкий пластмассовый шарик массой <math>m_1 \,\!</math> роняют с нулевой начальной скоростью с высоты <math>h\,\!</math>. В нижней точке траектории по нему ударяют ракеткой снизу вверх, после чего шарик подпрыгивает на высоту в <math>n\,\!</math> раз большую первоначальной. Определите скорость ракетки перед ударом. Масса <math>m_2 \,\!</math> ракетки во много раз больше массы шарика. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
{{Акмар}}
'''Решение.'''
Проанализируем упругое столкновение в ЛСО, ось OX направим по вертикали вверх. Из кинематических соотношений для равнопеременного движения по прямой найдём проекции скорости шарика до и после соударения на ось OX
<math>V_{1X} = - \sqrt {2gh} \,\!</math> ,<math>V'_{1X} = \sqrt {n2gh} \,\!</math>
При <math>m_1 < < m_2 \,\!</math> соотношение
<math>V'_{1X} = \frac{{(m_1 - m_2 )V_{1X} + 2m_2 V_{2X} }}{{m_1 + m_2 }}\,\!</math> из решения задачи № 5 принимает вид <math>V'_{1X} = - V_{1X} + 2 \cdot V_{2X} \,\!</math>. Отсюда находим искомую скорость ракетки до удара <math>V_{2X} = \frac{{V_{1X} + V'_{1X} }}{2} = \sqrt {\frac{{gh}}{2}} \cdot \left( {\sqrt n - 1} \right)\,\!</math>.
=== Задача № 7.===
{{Рамка}}
Гладкая круглая шайба массы <math>m_1 \,\!</math> движется со скоростью <math>\vec V\,\!</math> вдоль хорды, расстояние до которой от центра гладкого тонкого однородного обруча равно <math>R/2\,\!</math> (рис.2). Обруч массы <math>m_2 \,\!</math> и радиуса <math>R\,\!</math> лежит на гладком горизонтальном столе.
Через какое время <math>\tau \,\!</math> после первого удара
шайба окажется на минимальном расстоянии от центра движущегося обруча? Каково это расстояние? Удар считайте абсолютно упругим.
{{Акмар}}
[[Изображение:potphys2.jpg]]<br />
Рис.2
'''Решение.'''
Воспользуемся результатами решения задачи № 5. В ЛСО, ось OX которой направлена по линии центров шайбы и обруча в момент соударения, проекции скорости шайбы и центра обруча на ось OX после соударения равны соответственно
<math>V'_{1X} = \frac{{(m_1 - m_2 )V_{1X} + 2m_2 V_{2X} }}{{m_1 + m_2 }} = \frac{{(m_1 - m_2 )V_{1X} }}{{m_1 + m_2 }}\,\!</math> ,
<math>V'_{2X} = \frac{{2m_1 V_{1X} + (m_2 - m_1 )V_{2X} }}{{m_1 + m_2 }} = \frac{{2m_1 V_{1X} }}{{m_1 + m_2 }}\,\!</math>, здесь <math>V_{1X} = V\cos \frac{\pi }{6}\,\!</math> – проекция скорости шайбы на ось OХ до соударения, <math>V_{2X} = 0\,\!</math> – обруч до соударения покоился.
Из этих соотношений следует, что в системе отсчёта, связанной с движущимся обручем, радиальная составляющая скорости шайбы после соударения
<math>V_{1Xrel} = V'_{1X} - V'_{2X} = - V_{1X} = - V\cos {\pi \over 6}\,\!</math>
просто изменила знак, а перпендикулярная радиусу составляющая, как было показано, в рассматриваемом соударении не изменяется. Следовательно, относительно обруча шайба отразится по закону «угол падения равен углу отражения» и минимальное расстояние до центра обруча снова будет равно <math>R/2\,\!</math>. Искомое время. <math>
\tau = {R \over {\left| {V_{1Xrel} } \right|}} = {{2\sqrt 3 } \over 3}{R \over V}\,\!</math>
=== Задача № 8.===
{{Рамка}}
Каков максимальный угол <math>\theta \,\!</math> упругого рассеяния <math>\alpha \,\!</math> -частицы на дейтроне? Дейтрон – ядро одного из изотопов водорода – дейтерия, состоит из протона и нейтрона; <math>\alpha \,\!</math>-частица – ядро гелия, состоит из двух протонов и двух нейтронов. Считайте, что масса дейтрона в 2 раза меньше массы <math>\alpha \,\!</math>-частицы.
{{Акмар}}
''Решение.'''
Проанализируем упругое столкновение в ЛСО (не прибегая к модели упругих шаров). Введём обозначения: <math>m_1 \,\!</math> – масса
<math>\alpha \,\!</math>-частицы, <math>\vec V\,\!</math> – её скорость до рассеяния, <math>m_2 \,\!</math>– масса дейтрона, <math>\vec V_1 \,\!</math> и <math>\vec V_2 \,\!</math> – скорости
<math>\alpha \,\!</math>-частицы и дейтрона соответственно после рассеяния. При отсутствии внешних сил в процессе упругого взаимодействия для системы «<math>\alpha \,\!</math>-частица + дейтрон» сохраняются импульс (рис.3 )
<math>m_1 V = m_1 V_1 \cos \delta + m_2 V_2 \cos \varphi \,\!</math>,
<math>m_1 V_1 \sin \delta = m_2 V_2 \sin \varphi \,\!</math>,
и кинетическая энергия
<math>\frac{{m_1 V^2 }}{2} = \frac{{m_1 V_1^2 }}{2} + \frac{{m_2 V_2^2 }}{2}\,\!</math>.
[[Изображение:potphys3.jpg]]
Рис.3.
Исключив из этих соотношений угол <math>\varphi \,\!</math> и вели-чину <math>V_2 \,\!</math> скорости дейтрона, получим квадратное уравнение для <math>V_1 \,\!</math>
<math>(m_1 + m_2 )V_1^2 - 2m_1 VV_1 \cos \delta + (m_1 - m_2 )V^2 = 0.\,\!</math>
Корни этого уравнения будут вещественными при <math>\sin \delta \le m_2 /m_1 \,\!</math>. Максимальный угол <math>\delta \,\!</math>, удовлетворяющий этому условию, и есть искомый угол <math>\theta \,\!</math>. Таким образом, <math>\theta = \arcsin (m_2 /m_1 ) = \frac{\pi }{6}\,\!</math> рад. Заметим, что рассеяние на максимальный угол возможно только при условии: масса налетающей частицы больше массы покоящейся.
== §3. Центр масс системы материальных точек. Теорема Кёнига ==
В физике законы изменения и сохранения импульса системы частиц зачастую формулируются с привлечением центра масс. Для введения центра масс системы частиц рассмотрим движение этой системы в ЛСО и в системе отсчёта, которая движется поступательно с произвольной (пока!) скоростью <math>\vec V_C \,\!</math> относительно лаборатории. Найдём связь импульсов системы частиц в лабораторной <math>\vec P = \sum {m_i } \vec V_i \,\!</math> и в подвижной <math>\vec P_{OTH} = \sum {m_i } \vec V_{iOTH} \,\!</math>системах отсчёта. Так как при переходе между поступательно движущимися системами отсчёта скорости частиц преобразуются по закону Гали-лея <math>\vec V_i = \vec V_C + \vec V_{iOTH} \,\!</math>, то связь импульсов системы частиц в ЛСО и в подвижной системе при-нимает вид
<math>\vec P = \sum {m_i } \vec V_i = M\vec V_C + \vec P_{OTH} \,\!</math>,
<math>M = \sum {m_i } \,\!</math>– масса системы частиц.
Отсюда следует, что если выбрать
<math>\vec V_C = \frac{{\sum {m_i } \vec V_i }}{{\sum {m_i } }} = \frac{{\vec P}}{M}\,\!</math>,
то в этой системе <math>\vec P_{OTH} = \vec P - M\vec V_C = \vec 0\,\!</math>. Полученное соотношение <math>\vec V_C = \sum {m_i } \vec V/M\,\!</math> можно считать производной по времени радиуса- вектора, определяемого по формуле
<math>\vec R_C = \frac{{\sum {m_i } \vec r_i }}{{\sum {m_i } }}\,\!</math>.
В классической физике эту точку называют центром масс системы частиц, а систему, начало которой традиционно помещают в центр масс, и которая движется поступательно со скоростью <math>\vec V_C = \vec P/M\,\!</math> относительно лаборатории, называют системой центра масс (Ц-системой). Как было показано, в этой системе отсчёта суммарный импульс частиц равен нулю.
Найдём связь кинетических энергий <math>K\,\!</math>и системы материальных точек в ЛСО и в Ц-системе соответственно. По закону сложения скоростей <math>\vec V_i = \vec V_C + \vec V_{iOTH} \,\!</math>. Тогда кинетическая энергия системы материаль-ных точек в ЛСО и в Ц-системе связаны соотношением
<math>K = \sum {\frac{{m_i \vec V_i^2 }}{2} = } \sum {\frac{{m_i (\vec V_C + \vec V_{iOTH} )^2 }}{2} = } \,\!</math> <math> = \sum {\frac{{m_i \vec V_C ^2 }}{2} + \sum {\frac{{m\vec V_{iOTH}^2 }}{2} + \left( {\vec V_C \cdot \sum {m_i \vec V_{iOTH} } } \right)} } \,\!</math>.
Сумма <math> \sum {m_i \vec V_{iREL} = } \left( {\sum {m_i } } \right) \cdot \vec V_{CREL}\,\!</math> равна нулю, так как центр масс в Ц-системе покоится: <math>\vec V_{Crel} = \vec 0 \,\!</math>. Таким образом, <math>K = {{\left( {\sum {m_i } } \right) \cdot V_C ^2 } \over 2} + K_{rel}\,\!</math>,
т.е. кинетическая энергия совокупности материальных точек в ЛСО равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же совокупности материальных точек в её относительном движении в Ц-системе. Это утверждение составляет содержание теоремы Кёнига.
'''Приведём второе решение задачи № 8.''' Упругое столкновение удобно рассматривать в Ц-системе. Скорость центра масс системы «<math>\alpha</math>-частица + дейтрон»
<math>\vec V_C = \frac{{m_1 \vec V_1 }}{{m_1 + m_2 }}\,\!</math>.
До столкновения в Ц-системе импульс частицы массой <math>m_1 \,\!</math> равен
<math>\vec p_{1OTH} = m_1 \vec V_{1OTH} = m_1 (\vec V_1 - \vec V_C ) = \frac{{m_1 m_2 \vec V_1 }}{{m_1 + m_2 }}\,\!</math>,
импульс частицы массой <math>m_2 \,\!</math> равен (<math> - \vec p_{1OTH} \,\!</math>). При упругом столкновении импульс и кинетическая энергия системы частиц в Ц-системе сохраняются. Импульс первой частицы после столкновения обозначим <math>\vec p'_{1OTH} \,\!</math>, импульс второй будет равен <math>\left( { - \vec p'_{1OTH} } \right)\,\!</math>. Из закона сохранения энергии
<math>\frac{{p_{1OTH}^2 }}{2}\left( {\frac{1}{{m_1 }} + \frac{1}{{m_2 }}} \right) = \frac{{\left( {p'_{1OTH} } \right)^2 }}{2}\left( {\frac{1}{{m_1 }} + \frac{1}{{m_2 }}} \right)\,\!</math>
находим <math>p'_{1OTH} = p_{1OTH} \,\!</math>. Таким образом, в Ц- системе при упругом столкновении импульсы частиц поворачиваются на тот или иной угол, не изменяясь по величине. Угол поворота не определяется законами сохранения, а зависит от характера взаимодействия. Тогда в Ц-системе скорости обеих частиц изменяются тоже только по направлению. Для анализа скоростей воспользуемся графической техникой (рис.4).
[[Изображение:potphys4.jpg]]
Рис.4.
До столкновения скорость в ЛСО налетающей частицы <math>\vec V_1 = \vec V_C + \vec V_{1OTH} \,\!</math>. После столкновения скорость <math>\vec V'_1 = \vec V_C + \vec V'_{1OTH} \,\!</math> налетающей частицы в ЛСО может заканчиваться в любой точке ок-ружности радиуса <math>V_{1OTH} = V'_{1OTH} = \frac{{m_2 V_1 }}{{m_1 + m_2 }}\,\!</math>. Из векторной диаграммы следует, что в случае <math>m_1 > m_2 \,\!</math> угол между векторами скорости <math>\vec V\,\!</math> и <math>\vec V'_1 \,\!</math> налетающей части-цы не может превышать некоторого максимального значения <math>\theta \,\!</math>, соответствующего случаю, когда <math>\vec V'_1 \,\!</math> касается указанной окружности,
<math>\theta = \arcsin \frac{{V_{1OTH} }}{{V_C }} = \frac{{m_2 }}{{m_1 }} = \frac{\pi }{6}\,\!</math> рад.
Обратим внимание, что в Ц-системе расчёт упругого соударения не требует проведения утомительных выкладок. Рассмотрим ещё один пример.
=== Задача № 9.===
{{Рамка}}
Два одинаковых гладких шара испытывают упругий нецентральный удар. Один из шаров до соударения покоился. Определите угол разлёта шаров.
{{Акмар}}
'''Решение.'''
Из второго решения предыдущей задачи следует, что в рассматриваемом случае <math>V_C = V'_{1OTH} = \frac{{V_1 }}{2}\,\!</math> (сохраняем обозначения, принятые в Задаче № 8). Тогда в диаграмме скоростей векторы <math>\vec V_1 ^\prime \,\!</math> и <math>\vec V_2 ^\prime \,\!</math>, отложенные из одной точки, лежащей на окружности, образуют вписанный угол, опирающийся на диаметр.
Такой угол равен половине центрального, т.е. <math>\frac{\pi }{2}\,\!</math>. Шары разлетятся под прямым углом.
[[Изображение:potphys5.jpg]]
Рис.5.
== §4. Законы сохранения импульса и энергии в микромире ==
Законы сохранения импульса и энергии позволяют решать задачи не только о взаимодействии макроскопических тел, но и задачи о взаимодействиях частиц в микромире.
В школьном учебнике рассказывается об искусственном превращении атомных ядер, которое впервые было осуществлено Э.Резерфордом в 1919 г. В первой искусственной ядерной реакции, ядра азота подвергались бомбардировке ядрами гелия (<math>\alpha \,\!</math>-частицами) и превращались в ядра кислорода и ядра атома водорода (протоны) по схеме <math>{}_7^{14} N + {}_2^4 He\,\, \to {}_8^{17} O + {}_1^1 H\,\!</math>.
=== Задача № 10.===
{{Рамка}}
Рассматриваемая реакция идёт с поглощением энергии <math>Q = 1,13\,\!</math> МэВ. При какой пороговой (минимальной) скорости <math>\alpha \,\!</math>-частиц, бомбардирующих неподвижную мишень, такая реакция могла пойти? Масса <math>\alpha \,\!</math>-частицы <math>m_{He} = 6,6 \cdot 10^{ - 27} \,\!</math>кг.
{{Акмар}}
'''Решение.'''
Из теоремы Кёнига следует, что минимум кинетической энергии бомбардирующей частицы достигается в случае, когда
продукты реакции покоятся в Ц-системе. В этом случае кинетическая энергия <math>\alpha \,\!</math>-частицы (её импульс <math>p\,\!</math>) является пороговой <math> K_{threshold} = \frac{p^2 }{{2m_{He} }}</math> и равна сумме энергии реакции Q и кинетической энергии сиcтемы как целого
<math>
K_{threshold} = Q + \frac{p^2 }{{2(m_{He} + m_N )}}
</math> ,
здесь учтено, что по закону сохранения импульса (в системе действуют только внутренние силы) импульс продуктов реакции равен импульсу бомбардирующей частицы. Кинетическая энергия движения системы как целого связана с кинетической энергией налетающей частицы
<math>
\frac{p^2 }{{2(m_{He} + m_N )}} = \frac{p^2}{{2m_{He} }}\frac{{m_{He} }}{{m_{He} + m_N }}E_{threshold} = \frac{{m_{He} }}{{m_{He} + m_N }}E_{threshold}
</math> .
Тогда соотношение для пороговой энергии принимает вид
<math>
K_{threshold} = Q + \frac{{m_{He} }}{{m_{He} + m_N }}K_{threshold}
</math> .
Отсюда находим пороговую энергию реакции
<math>
K_{threshold} = \frac{{m_{He} + m_N }}{m_N }Q = 1,45
</math> МэВ
и пороговую скорость
<math>
V_{threshold} = \sqrt {\frac{{2K_{threshold} }}{{m_{He} }}} = 0,83 \cdot 10^4
</math> м/с.
Из решения следует, что зависящая от отношения масс взаимодействующих частиц доля кинетической энергии бомбардирующей частицы не может быть использована для реакции. Это устраняется при использовании встречных пучков, когда центр масс сталкивающихся частиц неподвижен.
В заключение рассмотрим два примера, которые упоминаются в школьном курсе, и требуют привлечения (разумеется, в рамках школьной программы) элементов квантовой физики и специальной теории относительности.
Предварительно проиллюстрируем элементарные квантовые представления о взаимодействии света с веществом.
=== Задача № 11.===
{{Рамка}}
Неподвижная пылинка массой <math>m = 0,1\,\!</math> мг освещается импульсом лазерного света с длиной волны <math>\lambda = 0,63 \cdot 10^{ - 6} \,\!</math> м. Определите число <math>N\,\!</math> поглощённых пылинкой фотонов, если она в результате действия света приобрела скорость <math>V = 1\,\!</math>мм/с. Постоянная Планка <math>h = 6,6 \cdot 10^{ - 34} \,\!</math> Дж•с.
{{Акмар}}
'''Решение.'''
В квантовой физике энергия фотона (кванта) <math>E = h\nu = h\frac{c}{\lambda }\,\!</math>,
здесь <math>\nu \,\!</math> – частота, <math>\lambda \,\!</math>– длина волны электромагнитного излучения.
Импульс фотона <math>p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda }\,\!</math>.
В рассматриваемой задаче импульс <math>N\frac{h}{\lambda }\,\!</math> фотонов по закону сохранения импульса равен импульсу <math>mV\,\!</math> пылинки <math>N\frac{h}{\lambda } = mV\,\!</math>, отсюда <math>N = \frac{mV\lambda}{h} \approx 9,5 \cdot 10^{16} \,\!</math>.
Первый пример – эффект Комптона. В 1922 г. А. Комптон обнаружил, что если рентгеновское излучение с длиной волны <math>\lambda _0 \,\!</math> рассеивается веществом с лёгкими атомами (графит, парафин), то в рассеянном потоке, наряду с излучением с той же длиной волны <math>\lambda _0 \,\!</math>, наблюдается излучение с большей длиной волны <math>\lambda \,\!</math>. Считая это излучение результатом упругого рассеяния рентгеновских квантов на свободных электронах, рассмотрим следующую задачу.
=== Задача № 12.===
{{Рамка}}
Рентгеновский квант (энергия ~105 эВ)сталкивается с неподвижным электроном и отражается в обратном направлении. Найдите приращение длины волны рентгеновского излучения в результате упругого рассеяния. Постоянная Планка <math>h = 6,6 \cdot 10^{ - 34} \,\!</math> Дж•с, скорость электромагнитных волн в вакууме <math>c = 3 \cdot 10^8 \,\!</math> м/с, масса электрона <math>m_e = 0,9 \cdot 10^{ - 30} \,\!</math> кг.
{{Акмар}}
'''Решение.'''
Поясним принятую модель взаимодействия излучения с веществом. В атомах лёгких элементов для удаления электрона нужна энергия порядка 10 эВ. Так как эта энергия во много раз меньше энергии рентгеновских квантов, то электроны можно считать свободными.
При энергии кванта в сотни тысяч эВ необходим учёт релятивистских эффектов, так как энергия рентгеновского кванта сравнима с энергией покоящегося электрона <math>{m_e}{c^2}\approx 0,51 \cdot 10^5\,\!</math>эВ. До рассеяния, энергия системы «квант + свободный электрон» состояла из энергии рентгеновского кванта <math>h\frac{c}{{\lambda _0 }}\,\!</math> и энергии <math>m_e c^2 \,\!</math> покоящегося электрона. В результате рассеяния, энергия электрона, движущегося со скоростью <math>V\,\!</math>, равна <math>\frac{{m_e c^2 }}{{\sqrt {1 - \frac{{V^2 }}{{c^2 }}} }}\,\!</math> и стала больше начальной. В свою очередь, энергия рентгеновского кванта <math>h\frac{c}{\lambda }\,\!</math> уменьшилась, т.е. длина волны излучения увеличилась.
По закону сохранения энергии <math>m_e c^2 + h\frac{c}{{\lambda _0 }} = \frac{{m_e c^2 }}{{\sqrt {1 - \frac{{V^2 }}{{c^2 }}} }} + h\frac{c}{\lambda }\,\!</math>.
Проанализируем импульсы взаимодействующих частиц. До рассеяния импульс рентгеновского кванта <math>p_0 = \frac{h}{{\lambda _0 }}\,\!</math>, после рассеяния <math>p = \frac{h}{\lambda }\,\!</math>, импульс электрона, движущегося со скоростью <math>V\,\!</math>, равен <math>p_e = \frac{{m_e V}}{{\sqrt {1 - \frac{{V^2 }}{{c^2 }}} }}\,\!</math>. По закону сохранения импульса <math>\vec p_0 = \vec p + \vec p_e \,\!</math>. Считая импульс рентгеновского кванта направленным в положительном направлении оси OX ЛСО и переходя к проекциям импульсов на эту ось, получаем <math>\frac{h}{{\lambda _0 }} = - \frac{h}{\lambda } + \frac{{m_e V}}{{\sqrt {1 - \frac{{V^2 }}{{c^2 }}} }}\,\!</math>.
Умножим второе равенство на <math>c = 3 \cdot 10^8 \,\!</math> м/с, сложим его с первым и вычтем его из первого равенства. Перемножив полученные соотношения, найдём
<math>\Delta \lambda = \lambda - \lambda _0 = 2\frac{h}{{m_e c}} = 4,84 \cdot 10^{ - 12} \,\!</math> м,
что хорошо согласуется с экспериментальными данными и подтверждает упругий характер процесса рассеяния рентгеновского кванта на свободном электроне. Эффект Комптона, так же как и фотоэффект, иллюстрирует корпускулярные свойства электромагнитного излучения.
В следующем примере анализ неупругого процесса поглощения фотона проводится с учётом дискретности энергетического спектра атома.
=== Задача № 13.===
{{Рамка}}
Неподвижный, невозбуждённый атом водорода поглощает фотон. В результате атом переходит в возбуждённое состояние и начинает двигаться. Найдите величину V скорости, с которой стал двигаться атом после поглощения фотона. Энергия возбуждения атома <math>E_{12} = 1,63 \cdot 10^{ - 18} \,\!</math> Дж. Энергия покоя атома водорода <math>m\,c^2 = 1,49 \cdot 10^{ - 10} \,\!</math> Дж.
''Указание''. При<math>x < < 1\,\!</math> можно считать, что <math>(1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha \;x\,\!</math>.
{{Акмар}}
'''Решение.'''
Поглощение фотона атомом является типичным неупругим столкновением. Проанализируем энергетические превращения. Во-первых, энергия <math>{{hc} \over \lambda }\,\!</math> поглощённого фотона идёт на перевод атома в возбуждённое состояние (по условию для этого требуется <math>E_{12} = 1,63 \cdot 10^{ - 18} \,\!</math> Дж). Во-вторых, закон сохранения импульса обязывает возбужденный атом придти в движение, тогда та или иная часть энергии фотона пойдёт на увеличение кинетической энергии атома. По закону сохранения энергии <math>
{{{\rm{h}}{\rm{c}}} \over {\rm{\lambda }}}{\rm{ = E}}_{{\rm{12}}} {\rm{ + }}{{{\rm{m}}{\rm{V}}^{\rm{2}} } \over {\rm{2}}}\,\!</math> и импульса <math>{{h} \over \lambda } = mV\,\!</math>находим искомую скорость <math>V = c\left[ {\sqrt {1 + {{2E_{12} } \over {mc^2 }}} - 1} \right] \approx c{{E_{12} } \over {mc^2 }}\,\!</math>,
которая определяется только отношением энергии возбуждения к массе атома водорода, выраженной в энергетических единицах. При выводе учтено, что дробь под корнем мала (~10-8). Это подтверждает нерелятивистское приближение, использованное в решении. При переходе атома водорода из основного состояния в первое возбуждённое величина скорости атома <math>V \approx c{{E_{12} } \over {mc^2 }} \approx 3,3\,\!</math> м/с.
[[Категория:журнал «Потенциал»]][[Категория:Физика]][[Категория:Задачи]]
[[Категория:Физика в журнале «Потенциал»]]
| |||