46-я Международная математическая олимпиада: различия между версиями

<math>x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geqslant 0</math>

 

 

Достаточно показать, что для любого простого числа <math>p</math> найдётся такой номер <math>n</math>, что <math>a_n</math> делится на <math>p</math>. Случаи <math>p = 2</math> и <math>p = 3</math> легко разбираются. При <math>p > 3</math> подходит <math>n = p - 2</math>. Это можно доказать, используя [[w:Малая теорема Ферма|малую теорему Ферма]]: если натуральное <math>a</math> не делится на простое <math>p</math>, то <math>a^{p - 1}</math> даёт остаток 1 при делении на <math>p</math>.

 

 

Искомая точка является второй точкой пересечения окружностей, описанных около треугольников <math>ADP</math> и <math>BCP</math>. Другое описание той же точки — как центр поворота, переводящего точки <math>A</math>, <math>F</math>, <math>D</math> соответственно в точки <math>C</math>, <math>E</math>, <math>B</math>.

 

 

Предположив, что верно противное, добавим участникам решённых задач так, чтобы один из них решил 5 задач, а все остальные — по 4. Далее, суммируя по всем ученикам количество пар решённых задач, и с другой стороны, оценивая эту сумму по всем парам задач, получим противоречие во всех случаях, кроме случая, когда количество участников даёт остаток 2 при делении на 5. Оставшийся случай можно разобрать, прибегнув к подсчёту двумя способами суммарного количества пар решённых задач, содержащих одну фиксированную задачу. При рассмотрении возникает противоречие с остатками при делении на 3.