Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - свойства: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
 
мНет описания правки
Строка 2:
 
Мы видели, что можно построить музыкальный звукоряд различными способами. В дальнейшем мы будем пользоваться темперированным рядом. Однако бОльшая часть определений и свойств переносимы на любой звукоряд, иногда надо учитывать погрешности определения отдельных ступеней.
 
Итак, наш звукоряд содержит 12 ступеней, которые мы пронумеруем от 0 до 11. Для звуков из других октав можно поступить двояко. Можно применять тот же номер ступени с указанием октавы (см. Приложение X – наименования октав). А можно нумеровать звуки последовательно и дальше – 13, 14, 15, … При этом будет разумно взять за 0 самый низкий звук. Однако, поскольку все звуки звукоряда по построению могут быть перенесены в одну и ту же октаву, интересно рассмотреть не все звуки сами по себе, а классы эквивалентности звуков. Причислим к одному классу эквивалентности звуки, номера которых дают один и тот же остаток при делении на 12 (математически – номера звуков являются вычетами друг друга по модулю 12). Тогда в один класс вычетов попадут звуки, переходящие один в другой октавным переносом. Будем обозначать такие классы как [k], где k – номер звука любого представителя класса и называть супертоном. Очевидно, что [k] = [k + 12i], где i – целое число. Исходя из этого равенства, будем обычно использовать числа от 0 до 11 для обзначения классов: [0] … [11] (т.е. использовать систему наименьших положительных вычетов). Множество всех классов вычетов по модулю 12, T = Z12 = {[0], [1], ..., [12]}, назовем тональным множеством.
 
Отношения сравнения на тональном множестве заданы как обычные отношения на множестве целых чисел при том, что в качестве представителя каждого супертона мы выбираем наименьший положительный вычет. Расстоянием между [x] и [y] является (y-x) mod 12.
В темперированном звукоряде можно по номеру звука непосредственно вычислить его частоту: h0*2k/12, где k – номер звука, а h0 – частота базового звука.
 
Расстояние между двумя соседними ступенями звукоряда называется полутоном. В темперированном ряду полутон между любыми двумя ступенями действительно принимает одно и то же значение - 21/12 = 1,059463. В других рядах значение полутона колеблется. Однако внутри выбранного звукового ряда этим можно пренебречь и использовать полутон как самостоятельную единицу измерения (считать в полутонах). Интервал в два полутона называется целым тоном. В темперированном ряду тон это (21/12)2 = 1,122462.
Теперь мы можем измерять расстояния между ступенями звукоряда не только абсолютно, как соотношение частот, но и в полутонах (или в тонах). Например, расстояние между 2 и 9 ступенью звукоряда равно 7 полутонам. В темперированном ряду это в точности темперированная квинта (29/12 : 22/12 = 27/12).
 
Свойства интервалов переформулируются внутри звукоряда следующим образом. Простым интервалом называется интервал не превосходящий 12 (полутонов), составным – превосходящий 12. Обращением интервала x называется интервал 12-x. Сумма интервала и его обращения равна октаве. Октавой называется интервал длины 12, примой – 0, квинтой – 7, квартой – 5.
Введем унарные операции на тональном множестве:
 
#[x] = [x + 1] – повышение на полтона - диез
*<nowiki>#[x] = [x + 21]</nowiki> повышение на тонполтона дубль-'''диез'''
<br>
@[x] = [x - 1] - понижение на полтона - бемоль
@@<nowiki>*[x] = [x -+ 2]</nowiki> понижениеповышение на тон – '''дубль-бемольдиез'''
<br>
#@[x] = [x +&minus; 1] повышениепонижение на полтона - диез'''бемоль'''
<br>
@@[x] = [x -&minus; 12] - понижение на полтонатон – '''дубль- бемоль'''
 
[[Теория музыки для математиков: Содержание|к содержанию]]