Викиучебник

Линейная алгебра и аналитическая геометрия: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Нет описания правки
Нет описания правки
Строка 1:
{{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}}
'''[[w:Линейная алгебра|Линейная алгебра]]''' — это раздел математики, изучающий [[w:Вектор|векторы]], [[w:Линейное пространство|векторные пространства]], [[w:Линейное отображение|линейные преобразования]] и системы линейных уравнений.Линейная алгебра первоначально и возникла как наука о решении систем линейных алгебраических уравнений. Впоследствии её предмет расширился, и сейчас она представляет собой теорию линейных преобразований (операторов) в конечномерных векторных пространствах (точный смысл сказанного станет ясен в дальнейшем).
==Некоторые предварительные понятия из общей алгебры==
Сказанное ниже не относится прямо к линейной алгебре, но в дальнейшем изложении будет использоваться ниже рассмотренные понятия.
=== Бинарные операции ===
Любому школьнику известны понятия операции (действия) сложения, вычитания, умножения и деления. Эти операции осуществляются над двумя числами, в результате чего получается какое-то третье число. Разные арифметические выражения являются комбинациями этих операций ( например: 3+2*3=9 ▬ комбинация умножения(3*2) и сложения ( 3 складывается с результатом умножения 6). Обобщим теперь представление об операциях, осуществляемых над элементами какого-либо множества.
 
Рассмотрим произвольное множество '''M''' и зададим на этом множестве некую операцию (действие), которой для своего совершения нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент (возможно, иногда и равный одному из исходных элементов). Если данная операция осуществима над '''любыми''' двумя элементами <math>x</math> и <math>y</math> множества '''M''' и в результате получается элемент z из того же самого множества, то такую операцию (действие) назовём '''бинарной''', при этом x и y называют операндами, а z - результатом. Строгое матопределение смотри [[w:Бинарная операция|здесь]].
 
Примеры:
*операция сложения или вычитания на множестве действительных или комплексных чисел- бинарные операции(любые два числа из этого множества можно сложить/вычесть, в результате чего получится число из того же самого множества)
*операция вычитания на множестве натуральных чисел-не является бинарной (на множестве натуральных чисел из меньшего числа нельзя вычесть большее)
*операция умножения на множестве и натуральных, и целых, и действительных чисел- бинарная операция.
*операция деления на множестве действительных чисел не является бинарной ( на 0 делить нельзя), но на множестве действительных чисел из которых исключён 0-это бинарная операция.
 
Существуют операции, которым для своего осуществления требуется один элемент, например <math>sin x</math>. Такие операции называются унарными (от лат. uno-один).
=== Группы ===
Пусть на некоем множестве '''G''' задана какая-то операция <math>\bullet</math>. Обозначение <math>(G, \bullet) </math>, где G-само множество, а <math>\bullet</math>- некая заданная на нём операция.
 
<math>(G, \bullet) </math> называется группой, если:
#<math>\bullet</math> - бинарная операция.
#<math>(\forall x, y, z \in G) \quad (x\bullet y)\bullet z=x\bullet(y\bullet z)</math>, или как говорят ассоциативна (подчиняется сочетательному закону). Знак <math>\forall</math> обозначает "для любого", "для всех".
#<math>(\exists e \in G)\quad \forall x\in\,G x \bullet e=e\bullet x=x </math>-в G cуществует нейтральный элемент.
#<math>(\forall x \in G)\quad (\exists x' \in G)\quad x \bullet x'=e </math>-для каждого элемента можно найти элемент, ему обратный. Знак <math>\exists</math> обозначает "существует, можно найти".
Если от перестановки операндов результат не меняется, то такую группу называют коммутативной , или абелевой, т.е.
:5.<math>(\forall x, y \in G)\quad x \bullet y=y \bullet x</math>
 
Отметим некоторые свойства групп:
#Нейтральный элемент в группе всегда единственный.
#Если <math>x=y</math>, то <math>x \bullet a=y \bullet a</math> для любого <math>a</math>. Верно и обратное.(То есть в группах можно сокращать).
#Уравнение <math>a \bullet x =b</math> всегда имеет единственный корень <math>x=a' \bullet b</math>
===Поля ===
 
Пусть на некотором множестве '''P''' заданы какие-то две двуместные(т.е. для своего совершения каждой операции нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент) операции. Обозначение:<math>(P, \oplus , \bullet)</math>. Одну из них (пусть <math>\oplus</math>) назовём аддитивной, а другую(<math>\bullet</math>)- мультипликативной.
Если:
#'''P''' относительно <math>\oplus</math>-коммутативная группа,
#Операция <math>\bullet</math> ассоциативна и коммутативна, имеет для себя нейтральный элемент.
#Все элементы множества '''P''' кроме нейтрального элемента по аддитивной операции обратимы по мультипликативной операции.
#Операция <math>\oplus</math> относительно <math>\bullet</math> подчиняется распределительному закону (дистрибутивна):<math>(\forall x,y,z \in P)\quad (x \oplus y)\bullet z=(x \bullet z) \oplus (y \bullet z)</math>,
то такое множество с заданными на нём операциями называют полем. Строгое матопределение смотри [[w:поле (алгебра)|здесь]].
 
Отметим некоторые дополнительные свойства полей:
#Нейтральные элементы по двум заданным операциям ни в каком поле никогда не совпадают.
 
Нейтральный элемент по аддитивной операции обозначают 0<sub>P</sub> или просто 0, а по мультипликативной операции 1<sub>P</sub> ( 1 ). Отметим, что "0" и "1" в общей теории полей -символы (можно придумать такое поле, где под 0 и 1 понимается совсем не числа 0 и 1).
===Примеры групп и полей===
*Множество целых чисел относительно операции сложения - группа
*Множество векторов плоскости относительно операции векторного сложения - группа.
*Множество действительных чисел относительно операции сложения (аддитивная) и умножения (мультипликативная)-поле. Действительно, нетрудно проверить, что <math>(\mathbb{R}, +) </math>-группа (усл.№1), умножение подчиняется сочетательному и переместительному закону, а число 1-нейтрально по умножению (усл.№2), на 0 делить нельзя (это и есть усл. №3), сложение относительно умножения подчиняется распределительному закону: (x+y)z=xz+yz.
[[Категория:Математика]]
Источник — https://ru.wikibooks.org/wiki/Линейная_алгебра_и_аналитическая_геометрия