Высшая математика. Первый семестр/Пределы: различия между версиями

+1
(Новая: даны координаты вершин пирамиды ABCD.Найти: угол между ребрами AB и AC;)
 
(+1)
Пусть задана некоторая меняющаяся величина <math>y</math>, зависящая от переменного <math>x</math>. Предположим, что это переменное <math>x</math> можно менять так, что выполняется некоторое условие <math>\mathcal{B}</math>: переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина <math>y</math> каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу <math>L</math>. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины <math>y</math> при данном условии <math>\mathcal{B}</math> для <math>x</math> и обозначается
даны координаты вершин пирамиды ABCD.Найти:
 
угол между ребрами AB и AC;
<math>\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.</math>
 
Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.
 
== Предел функции при x→x<sub><small>0</small></sub> ==
[[Изображение:limit1.png|thumb|Предел при <math>x\to x_0</math>]]
Пусть <math>y=f(x)</math> — это функция вещественного переменного <math>x</math>, определённая во всех точках интервала <math>(a;b)</math>, кроме, быть может, точки <math>x_0\in(a;b)</math>. Дадим определение предела величины <math>y</math> при условии, что <math>x</math> стремится к точке <math>x_0</math>. Это условие кратко обозначается <math>x\rightarrow x_0</math>. Стремление <math>x</math> к <math>x_0</math> означает, что при своём изменении <math>x</math> оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку <math>x_0</math>, но не совпадает с <math>x_0</math>, то есть значение <math>\vert x-x_0\vert</math> становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие <math>x</math> значения <math>y=f(x)</math> становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу <math>y_0</math>, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа <math>y_0</math> можно указать, насколько близко <math>x</math> должен подойти к <math>x_0</math>, чтобы значения <math>y=f(x)</math> уже попадали в эту окрестность числа <math>y_0</math>. Тогда число <math>y_0</math> есть предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>, что записывается так:
 
<math>\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).</math>
 
Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки <math>y_0</math> (симметричная относительно <math>y_0</math>) характеризуется её полушириной <math>{\varepsilon}>0</math>, то есть имеет вид интервала <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math>. Если значение <math>y</math> попало в такую <math>{\varepsilon}</math>-окрестность, то это означает, что <math>\vert y-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Любая окрестность точки <math>x_0</math>, не содержащая самой точки <math>x_0</math> (и симметричная относительно <math>x_0</math>), — это объединение двух смежных интервалов3 <math>{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}</math>. Попадание точки <math>x</math> в эту окрестность означает, что выполнено неравенство <math>\vert x-x_0\vert<{\delta}</math> и <math>x\ne x_0</math>. Равенство <math>y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)</math> означает тогда, что
 
для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>{\delta}>0</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>\vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0</math> будет <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>.
 
При этом число <math>y_0</math> называется пределом функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде
 
<math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.</math>
 
[[Изображение:limit2.png|thumb|График <math>y=2\sin x+1</math>]]
'''Пример 1:''' Пусть <math>x_0=0</math> и рассматривается функция <math>f(x)=2\sin x+1</math>. Покажем, что
<math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.</math>
 
Для этого фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math>, задающее окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math>, и выясним, при каких <math>x</math> значения функции <math>f(x)</math> будут попадать в эту окрестность точки 1.
 
Попадание значений <math>f(x)</math> в окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math> означает, что выполняется неравенство <math>{\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, то есть <math>{\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки <math>{x_0=0}</math>. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>{\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. Таким образом, если взять <math>{{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math> (это число больше 0), то при <math>{x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}</math> будет выполнено неравенство <math>{\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, что и означает, что предел равен числу 1: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1</math>, или <math>{2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}</math>.
 
Рассмотрим теперь другой важный случай предела.
 
== Предел последовательности при n→∞ ==
[[Изображение:limit3.png|thumb|Последовательность и её предел]]
Пусть дана бесконечная последовательность <math>\{y_n\}</math> чисел, занумерованных по порядку:
 
<math>\displaystyle y_1, y_2, y_3, \dots, y_n, \dots\ .</math>
 
(Эту последовательность можно рассматривать как функцию <math>f(n)=y_n</math>, определённую при всех натуральных значениях аргумента <math>n</math>.) Дадим определение предела последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии, что номер <math>n</math> неограниченно растёт (это условие обозначается <math>n\rightarrow \infty</math>). Стремление <math>n</math> к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа <math>N\in\mathbb{N}</math>, то есть начинает выполняться неравенство <math>n>N</math>. Если при этом числа <math>y_n</math> становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу <math>L</math>, то это число — предел последовательности, что записывается так:
 
<math>\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.</math>
 
Формализуем сказанное. Множества чисел <math>n</math>, заданные условиями <math>n>N</math>, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство <math>L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n</math> означает тогда, что
 
для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>N</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>n>N</math> (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство <math>\vert y_n-L\vert<{\varepsilon}</math>.
 
При этом число <math>L</math> называется пределом последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии <math>{n\rightarrow \infty}</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=L</math>, записывают также в виде
 
<math>\displaystyle y_n\xrightarrow {n\to\infty}L.</math>
 
[[Изображение:limit4.png|thumb|Последовательность <math>\dfrac{1}{n^2}</math>]]
'''Пример 2:''' Покажем, что предел последовательности <math>y_n=\dfrac{1}{n^2}</math> равен 0.
 
Фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём число <math>N</math> в зависимости от <math>{\varepsilon}</math> так, чтобы при <math>n>N</math> выполнялось неравенство <math>\vert y_n-0\vert<{\varepsilon}</math>, то есть <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math>. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math>. Значит, достаточно выбрать в качестве <math>N</math> натуральное число, ближайшее к <math>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math> справа на вещественной оси4, то есть <math>N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil</math>, и тогда при любом <math>n>N</math> неравенство <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math> будет верным. Это означает, что
 
<math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,</math>
 
или <math>\dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0</math>.
 
Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение.
 
== Предел функции f(x) при условии x→+∞ ==
[[Изображение:limit5.png|thumb|Предел при <math>x\to+\infty</math>]]
Определим окрестности бесконечности как множества точек <math>x</math>, заданные неравенствами <math>x>a</math>, то есть лучи <math>(a;+\infty)</math>. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math> точки <math>y_0</math> можно было найти такую окрестность бесконечности <math>(a_{{\varepsilon}};+\infty)</math>, что при попадании <math>x</math> в эту окрестность, то есть при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math>, соответствующее значение <math>y=f(x)</math> попадает в заданную вначале окрестность точки <math>y_0</math>, то есть выполняется неравенство <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Выполнение этого требования будет означать, что <math>y_0</math> — предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow +\infty</math>, то есть
 
<math>\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).</math>
 
Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде
 
<math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.</math>
 
[[Изображение:limit6.png|thumb|График функции <math>y=\dfrac{3x-2}{x+1}</math>]]
'''Пример 3:''' Покажем, что предел функции <math>f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}</math> при <math>x\to+\infty</math> равен числу 3.
 
Фиксируем <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём по этому числу <math>{\varepsilon}</math> такое число <math>a</math>, что при любом <math>x>a</math> выполняется неравенство
 
<math>\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.</math>
 
Сразу будем считать, что <math>a</math> — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде <math>\left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}</math> или <math>\vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>. Так как <math>x>a\geqslant 0</math>, то <math>x+1>0</math> и неравенство имеет вид <math>x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>, откуда <math>x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math>. Если теперь взять число <math>a_{{\varepsilon}}</math> равным <math>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math> (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math> будет выполняться неравенство <math>\left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}</math>; это означает, что
 
<math>\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,</math>
 
или <math>\dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3</math>.
94

правки