Комплексные числа: различия между версиями

</center>

С помощью этих чисел мы считаем разные объекты.

Целые числа, обозначаемые <math>\,\! \mathbb{Z} </math>, расширяют множество натуральных

чисел &mdash; добавляют нуль и отрицательные числа. Наличие

любого, тогда как «живя» в натуральных числах, при вычитании мы

должны были всегда следить, чтобы из большего вычиталась меньшее.

\frac{3}{8}, \; -\frac{7}{2},\; \frac{1}{2},\; -\frac{2}{3} \; \ldots

</math></center>

и снова получать рациональное число (конечно, на ноль делить при этом нельзя).

Следующее множество чисел, расширяющее множество рациональных чисел &mdash; это

[[Изображение:complex2.jpg]]

 

 

Замечание: этот подход не является строгим в современном смысле. Нужно дать определение вещественных чисел и доказать, что среди них вообще существует иррациональные числа. Например, в Фихтингольце, это делается с помощью [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE Детекиндового сечения], а уж потом доказать, что корень из двух является примером такого числа.

 

<center> <math>\,\! \sqrt{2}=\frac{m}{n}, </math></center>

неверно.

 

Действительные числа очень обширны, с их помощью можно описывать любое количество вещества,

вычитать, умножать, делить (только на ноль делить нельзя). Кроме того, можно брать корни

из неотрицательных чисел и вычислять самые разные функции, например, синус, косинус, экспоненту и др.

Кроме корней натуральных чисел и, вообще, корней различных многочленов

с целочисленными коэффициентами действительные числа содержат бесконечное множество

Например, число <math>\,\! \pi </math>, равное половине длины единичной окружности, является трансцендентным числом.

Число <math>\,\! \sqrt{2}^{\sqrt{2}} </math> также является трансцендентным.

Действительные числа представляют собой полноценный набор чисел,

которого, кажется, должно хватить для любых нужд. Но это не так.

В комплексных числах можно брать корни из отрицательных чисел.

что любой многочлен имеет среди этих чисел корень. Например, уравнения

<center> <math>\,\! x^2+1=0, \quad x^2-2x+2=0,\quad x^6+10 = 0 </math></center>

<center> <math>\,\! i^2=-1. </math></center>

 

 

Рисунок 2. Комплексная плоскость. Каждая точка на плоскости соответствует

е) <math>\,\! 8i </math>.

 

{{Рамка}}

с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число <math>\,\!z =(a,b)</math> записывают как

<center> <math>\,\! z=a+b\cdot i, </math></center>

(рис. 2).

 

 

====Задача 5[8]====

 

е) <math>\,\! i </math>.

 

{{Рамка}}

в) <math>\,\! z(2+3i)=3-2i </math>;

г) <math>\,\! z(1+i)=3+4i </math>.

Пусть <math>\,\! z=a+b\cdot i </math>. Тогда из <math>\,\! z(1+i)=1 </math> следует

<center> <math>\,\! (a+b\cdot i)(1+i)=1, </math></center>

 

<math>\,\! 1 </math>.

 

====Задача 12[9]====

 

<math>\,\! 2^{30} </math>.

Чему равно <math>\,\! (1+i\sqrt{3})^3 </math>?

====Задача 13[9]====

<math>\,\! -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i </math>,

<math>\,\! -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i </math>.

 

===Чисто мнимые числа===

{{Рамка}}

{{Акмар}}

Например, числа

 

<math>\,\! 1+i </math>, <math>\,\! 1-i </math>.

 

====Задача 16[8]====

 

==Cопряженные числа. Модуль. Деление==

===Cопряженные числа===

 

{{Рамка}}

Пусть

Тогда число

<center> <math>\,\! \overline{z}=a-b\cdot i </math></center>

{{Акмар}}

Комплексное число <math>\,\! z </math> и комплексно-сопряженное к нему число <math>\,\! \overline{z} </math>

<center> <math>\,\! \overline{z^n} = (\overline{z})^n. </math></center>

 

 

====Задача 23[9]====

 

<math>\,\! \alpha^3+\beta^3 = 2(4^3+3\cdot4\cdot(2\sqrt{3})^2)=416 </math>.

 

<center> <math>\,\! (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. </math></center>

 

===Модуль===

{{Рамка}}

Пусть <math>\,\! z=a+b\cdot i </math>.

<center> <math>\,\! |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\cdot \overline{z}} </math></center>

&mdash; длина отрезка <math>\,\! Oz </math> на комплексной плоскости.

====Задача 37[9]====

Докажите тождество <math>\,\! (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 </math>.

Запишите равенство

<center> <math>\,\! (z\overline{z})\cdot (w\overline{w})=(zw)(\overline{zw}), </math></center>

Таким образом, утверждение последней задачи равносильно следующему утверждению:

{{Рамка}}

{{Акмар}}

===Деление===

 

Таким образом, мы можем дать такое определение комплексным числам:

{{Рамка}}

операции сложения « <math>\,\! + </math>» и умножения « <math>\,\! \times </math>» по следующим правилам:

<center> <math>\,\! (a_1,\; b_1)+(a_2,\; b_2) = (a_1+a_2,\;\; b_1+b_2 </math></center>

утверждает корректность операции деления.

 

 

Пусть даны два комплексных числа <math>\,\! v=a+b\cdot i \ne 0 </math> и <math>\,\! w=c+d\cdot i </math>.

чего в знаменателе будет действительное положительное число, равное квадрату модуля знаменателя.

Это значит, что хотя бы одно решение у уравнения [1] точно есть.

Пусть у нас есть два решения уравнения [1]:

<center> <math>\,\! z_1\times v = w, </math></center>

Какое преобразование плоскости переводит <math>z</math> в <math>2z</math>?

 

 

При этом преобразовании и действительная, и мнимая части увеличиваются в два раза.

Смотрите рисунки 3 и 4.

 

Гомотетия с коэффициентом <math>1/2</math> будет сжимать плоскость в два раза относительно центра.

 

определить её координаты <math>x'</math> и <math>y'</math>.

 

 

Заметьте, что если мы точку <math>A</math> удалим от точки пересечения

им соответствуют?

 

 

Эту задачу можно интерпретировать по-другому:

У нас есть одна единственная система координат.

относительно точки <math>O</math>, при этом оси координат <math>xOy</math> остаются на месте.

Все точки плоскости, кроме точки <math>O(0,0)</math> переместились. Пусть точка <math>(x,y)</math>

в) <math>z(1-\sqrt{3}i)/2</math>?

 

Докажите, что модуль <math>z</math> (расстояние от <math>z</math> до центра <math>O</math>) при преобразованиях

не меняется. Эти преобразования &mdash; повороты. Какие именно?

Решение

 

где <math>v</math> какое-то комплексное число и учтите, что <math>f(w)=w</math>.

 

====Задача 47[10]====

 

===Множества на комплексной плоскости и уравнения===

====Задача 48[9]====

Найдите (нарисуйте) множество точек (комплексных чисел)

 

е) <math>|z-1|=|z+1|</math> ?

 

====Задача 52[9]====

г) прямая <math>x=0</math>.

 

и отметить их на комплексной плоскости. Затем нужно соединить их гладкой кривой.

 

б) действительным.

 

 

\frac{z}{z-1}=i\cdot t </math>, где <math>t</math> &mdash; любое действительное число

выразите <math>z</math> через <math>t</math>; попробуйте подставить <math>t=0</math>, <math>1</math>, <math>-1</math>,

<math>2</math>, <math>10000</math> и поставить соответствующие <math>z</math> на плоскости.

 

плоскости, для которых треугольник

$z</math>, <math>1</math>, <math>0</math> имеет прямой угол при вершине <math>z</math>.

 

где <math>t</math> &mdash; любое действительное число и выразите <math>z</math> через <math>t</math>.

 

плоскости, для которых точки <math>z</math>, <math>1</math> и <math>0</math> лежат на одной прямой.

 

<center><math>\arg z = \phi.</math></center>

 

 

Рис.9 Комплексное число однозначно определяется своим модулем <math>r</math> и аргументом <math>\phi</math>.

 

 

{{Рамка}}

е) <math> (\cos 15^{\circ} - i \sin 15^\circ)</math>.

 

 

{{Рамка}}

<center><math>(r_1\cdot e^{i \phi_1})\cdot (r_2\cdot e^{i \phi_2}) = (r_1\cdot r_2)\cdot e^{i(\phi_1+\phi_2)}.</math></center>

{{Акмар}}

 

Доказательство теоремы отложим на потом.

[[Изображение:complex12.jpg]]

 

 

Приведем несколько примеров того, как работает эта теорема:

 

 

<center><math>i=e^{\frac{\pi}{2}i},</math></center>

<center><math>i\cdot i = e^{\frac{\pi}{2}i} \cdot e^{\frac{\pi}{2}i} = e^{i\frac{\pi}{2}+ i\frac{\pi}{2}} = e^{i \pi}.</math></center>

 

 

<center><math>(1+i)=\sqrt{2}\cdot e^{\frac{\pi}{4}i}.</math></center>

 

<center><math>(1+i)\cdot (1+i) = \sqrt{2}\cdot e^{\frac{\pi}{4}i} \cdot \sqrt{2}\cdot e^{\frac{\pi}{4}i} = (\sqrt{2}\sqrt{2}) \cdot e^{\frac{\pi}{2}i + \frac{\pi}{2}i} = 2 e^{\frac{\pi}{2}i} =2 i. </math></center>

 

Как видите, оба метода приводят к одному и тому же результату.

 

 

<center><math>(\sqrt{3}+i)= 2\cdot e^{i\frac{\pi}{6}}, \quad i= e^{i\frac{\pi}{2}}.</math></center>

Величину <math>(\sqrt{3}+i)\cdot i</math> вычислим двумя способами:

<center><math>(\sqrt{3}+i)\cdot i = \sqrt{3}i + i^2 = -1 + \sqrt{3}\cdot i </math></center>

 

и в то же время

в итоге снова получаем <math>-1 + \sqrt{3}\cdot i</math>.

 

 

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

В скобках стоят формулы для косинуса суммы и синуса суммы.

 

это преобразование комплексной плоскости, а именно, гомотетия относительно центра <math>O</math> с коэффициентом <math>r</math>

и поворот против часовой стрелки на угол <math>\phi</math>. Тогда умножение комплексных чисел соответствует

 

Найдите чему равно <math>i^{i}</math>.

 

Решение

 

<math>e^{-\pi/2}</math>

 

<center><math> e^{i\phi } = \cos \phi + i \sin \phi,</math></center>

 

<center><math> e^{-i\phi} = \cos \phi - i \sin \phi.</math></center>

 

Покажите, что это действительное число, большее <math>1</math>.

 

====Задача 63[10]====

 

в) <math>\arccos( i)</math>;

 

Решение

 

а)<math>i\ln (2+\sqrt{3})</math>;

 

б) <math>-\pi/2 + i\ln (2+\sqrt{3})</math>;

 

в) <math>\pi/2 + i \ln (\sqrt{2}-1)</math>.

{{Рамка}}

Дано уравнение относительно <math>z</math>:

 

[3] <center><math>z^n = w,</math></center>

[[Изображение:complex13.jpg]]

 

 

Прежде, чем решать это общее уравнение, рассмотрим частный случай <math>n=10</math>, <math>w=1</math>:

 

являются корнями уравнения <math>z^n=1</math>. Корень с <math>z_n</math> совпадает с корнем <math>z_0</math>.

 

Для <math>n=10</math> эти числа отмечены на рисунке 11(в).

====Задача 65[9]====

Найдите все корни уравнения <math>z^3=1</math>.

 

====Задача 66[9]====

Аргумент <math>\phi</math> может иметь <math>n</math> различных значений, которые соответствуют <math>k=0</math>, <math>1</math>, <math>2</math>, <math>\ldots</math>, <math>n-1</math>.

 

{{Рамка}}

Уравнение

б) <math>z^4+z^3+z^2+z+1=0</math>.

 

 

==Многочлены==

 

<center><math>p(x)=x^2-1,</math></center>

 

<center><math>p(x)=(x^{10}-1)\cdot x, </math></center>

 

<center><math>p(x)=(x-1)\cdot (x+7)\cdot (x^2+x+1) + x. </math></center>

 

Все многочлены, если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, имеют вид

<center><math>p(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} + \ldots + a_1\cdot x + a_0. </math></center>

 

Числа <math>a_1, \ldots, a_n</math> называются коэффициентами многочлена.

 

====Задача 69 [8]====

 

===Деление многочленов===

Рассмотрим деление многочленов на примере:

 

 

<center><math>\frac{- 2x^3+ x +1 }{x^2+1} = \frac{- 2x^3+ x + 1 + 2x(x^2+1) - 2x(x^2+1)}{x^2+1} = -2x + \frac{- 2x^3+ x + 1 + 2x(x^2+1)}{x^2+1} = -2x + \frac{- 2x^3+ x + 1 + 2x^3+2x}{x^2+1} = -2x + \frac{ 3x + 1}{x^2+1}. </math></center>

 

Дальше этот процесс продолжать нельзя, поскольку степень числителя стала меньше, чем степень

 

<center><math>\frac{x^5-x^3+x+1}{x^2+1} = x^3-2x + \frac{ 3x + 1}{x^2+1}.</math></center>

 

Здесь <math>x^3-2x</math> есть результат деления, а <math>3x+1</math> &mdash; остаток от деления.

 

<center><math>\frac{x^4-1}{x-1} = x^3+ x^2+x+ 1 + \frac{0}{x-1},</math></center>

 

<center><math>\frac{x^4+x^2+1}{x^2+x+1} = x^2 -x +1 + \frac{0}{x^2+x+1},</math></center>

 

<center><math>\frac{2x^4+x^2+1}{2x^2+1} = x^2 + \frac{1}{2x^2+1}.</math></center>

 

Когда остаток при делении равен нулю, то значит

первый многочлен делится на второй.

 

существует многочлен <math>D(x)</math> такой, что выполнено равенство:

 

Ответ: <math>-3</math>, <math>4</math>.

 

 

====Задача 74[9]====

Известно, что <math>x^4+x^3 - 6x^2+10x - 4</math> имеет корень <math>x=1+i</math>. Найдите остальные корни.

 

Ответ: <math>1-i</math>, <math>(-3\ pm \sqrt{17}/2)</math>.

 

====Задача 75[9]====

Найдите все корни уравнения <math>x^4+3x^2+2=0</math>.

 

Ответ: <math>i</math>, <math>-i</math>, <math>\sqrt{2}i</math>, <math>-\sqrt{2}i</math>.

 

 

====Задача 76[12] Исследовательская задача ====

не делятся на <math>P_2(x)</math>.

 

Но это не достаточное условие.

Докажите, что <math>P_{3^k}</math> делится на <math>P_{3}(x)</math>

есть многочлен максимальной степени с коэффициентом <math>1</math> при старшей степени, на

который делятся <math>p(x)</math> и <math>q(x)</math>.

 

====Задача 77[10]====

 

е) НОД<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)</math>, <math>(x-1)(x-3)(x-5)</math>).

 

====Задача 78[10]====

Докажите, что НОД двух многочленов, есть многочлен, корни которого являются

корнями как первого, так и второго многочлена.

 

====Задача 79[10]====

 

Решение

 

НОД<math>p(z)</math>, <math>q(z)</math>) = <math>z^2+2</math>, <math>z_1=i\sqrt{2}</math>, <math>z_2=i\sqrt{2}</math>.

Но, в то же время, комплексное число <math>i</math> является корнем этих уравнений.

Верна следующая теорема:

 

<b> Теорема 4 (Основная теорема алгебры)

 

 

Коэффициенты многочлена могут быть как действительными, так и

А именно, верно следующее следствие из основной теоремы алгебры:

 

Любой многочлен степени <math>n</math> может быть разложен в произведение <math>n</math> многочленов степени <math>1</math>

с комплексными коэффициентами.

 

 

Например, многочлен

<math>3+4i</math> и <math>3-4i</math>, восстановить само квадратное уравнение.

Для этого раскройте скобки <math>(x-3-4i)(x-3+4i)=\ldots</math>.

 

====Задача 84[10]====

<center><math>p(z)=a_n\cdot z^n+\ldots + a_1\cdot z + a_0</math></center>

Тогда если мы будем медленно менять <math>z</math>, то число <math>p(z)</math> тоже

 

Например, пусть <math>z</math> движется по окружности

Если <math>z</math> сделает оборот по окружности радиуса <math>R</math> <math>|z|=R</math>), то

<math>z^n</math> сделает <math>n</math> оборотов по окружности радиуса <math>R^n</math> <math>|z|=R^n</math>).

что при очень больших по модулю значениях <math>z</math> в значение многочлена

<math>p(z)=a_n\cdot z^n+\ldots + a_1\cdot z + a_0</math> больший вклад вносит старший член <math>a_n\cdot z^n</math>.

многочлена.

Таким образом, наш многочлен <math>p(z)</math> точно имеет хотя бы один комплексный корень.

 

===Алгебра многочленов по модулю многочлена===

от <math>x</math> может быть упрощен до многочлена степени меньше <math>3</math>.

 

совпадает с остатком при делении <math>P(x)=x^5</math> на <math>Q(x)=x^3 +x^2 + 1</math>.

 

при этом, единственным образом.

 

на <math>Q(x)</math>. Докажите, что

существуют единственные <math>D(x)</math> и <math>R(x)</math> такие, что

<center><math>P(x) = Q(x)D(x)+R(x),</math></center>

где степень <math>R(x)</math> меньше степени <math>Q(x)</math>.

{{Рамка}}

Пусть <math>p(x)</math> есть многочлен степени <math>m</math>, и мы полагаем что

Множество остатков при делении на <math>p(x)</math> есть множество

многочленов степени <math>m-1</math> и меньше и называется

В этой алгебре есть операция сложения &mdash; обычная операция сложения многочленов,

и операция умножения &mdash; обычное умножение многочленов, после которого берется остаток

б) <math>x^{11}</math> .

 

{{Рамка}}

Выражение

<center><math>d(x)\cdot p(x) = 1 \;{\rm mod}\; (x^2-1)?</math></center>

 

{{Рамка}}

многочленов степени больше <math>0</math>.

{{Акмар}}

====Задача 96[12]====

Многочлены с действительными коэффициентами

 

 

Два множества элементов <math>A</math> и <math>B</math> с операциями сложения и умножения

Например, пусть элементу <math>a</math> из <math>A</math> соответствует элемент <math>b=f(a)</math> из <math>B</math>

<math>f</math> &mdash; это функция, осуществляющая соответствие элементов <math>A</math> элементам <math>B</math>).

а операции сложения и умножения справа &mdash; операции на множестве <math>B</math>.

 

квадратный трехчлен можно линейной заменой переменной <math>x\mapsto (\alpha x + \beta)</math>

превратить в <math>x^2+1</math>. По многочлену <math>q(x)</math> можно

соответствуют мнимой и действительной части соответствующего <math>q(x)</math> комплексного числа.

Действительные и комплексные числа называются числовыми полями.

Если в каком-то числовом поле нет неприводимых многочленов степени больше <math>1</math>, то

оно называется алгебраически замкнутым.

 

==Матрицы==

 

{{Рамка}}

Матрицы <math>2\times 2</math> &mdash; это таблицы чисел <math>2\times 2</math> вида

<center><math>A \times B = \begin{pmatrix}a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}.</math></center>

{{Акмар}}

 

Первый индекс соответствует номеру строчки, второй &mdash; номеру столбца.

столбце, нужно взять <math>i</math>-ую строчку матрицы <math>A</math> и <math>j</math>-ый столбец <math>B</math>, а затем взять их произведение &mdash;

перемножить соответствующие элементы и сложить.

 

====Задача 97[8]====

е) <math>B\times A</math>.

 

{{Рамка}}

Матрица

 

 

====Задача 98[9]====

Таким образом, единичная матрица обладает такими же свойствами,

как и число <math>1</math> &mdash; умножение на <math>1</math> не меняет число.

{{Рамка}}

Введем обозначение:

то есть произведение матрицы <math>\mathbb{I}</math> на саму себя дает единичную матрицу с минусом.

 

{{Рамка}}

Матрицы можно умножать на число, при этом каждый элемент матрицы умножается на это число.

Найдите результат умножения матриц <math>M(a,b)\times M(c,d)</math>.

 

<math>M(x,y)</math>, то есть матрица, у которой на диагонали (верхний левый

угол &mdash; нижний правый) стоят одинаковые числа, а два числа на

<math>e^{M(a,b)} = M(e^{a}\cos b, e^{a}\sin b )</math>.

 

 

{{Рамка}}

<center><math>A\times B = B\times A = E.</math></center>

{{Акмар}}

* «Теорема Абеля в задачах», В.Б. Алексеев, &mdash; М.:МЦНМО, 2001.