Иррациональные уравнения: различия между версиями

<small>Исходный текст статьи опубликован в журнале «Потенциал» №1,2005. Автор статьи - Колесникова Софья Ильинична.</small>

 

 

Публикуемый материал является дополнением к заданию ЗФТШ &#8470;1 для 10 класса.

 

Уравнения типа

<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>

Кроме того, рассматриваются различные способы решения простейшего вида этих уравнений:

<math> \sqrt {ax + b} = cx + d</math>.

Вспомним, что, если <math>f(x) \ge 0, g(x)\ge 0</math>, то <math>f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x).</math>

 

Так как уравнение

 

При этом сначала решается уравнение, а затем найденные корни подставляются в неравенство. Неравенство (за редким исключением, когда корни "плохие") заранее решать не надо.

 

Наше условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решением '''тригонометрических''' неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. В тригонометрических уравнениях даже проверку условия

<math>g\left( x \right) \ge 0 </math>

не всегда просто сделать.

 

'''Замечание.''' При решении любых уравнений, где есть хотя бы один неравносильный переход, надо делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение!

 

откуда <math>x=1</math> или <math>x=1/2</math>.

 

Любопытно, что

принадлежит ОДЗ, но не является решением, т. к. для него не выполнено условие

<math> x + 1 \ge 0. </math>

 

'''Ответ:''' 0,5; 1.

 

'''Ответ:''' <math> \frac{{41 \pm \sqrt {212} }}{{17}}. </math>

 

В этом примере не оказалось лишних корней.

===Пример 3.===

<math> \sqrt {x^3 - 5x + 13} = x + 2.</math>

 

<math>\sqrt {x^3 - 5x + 13} = x + 2 \Leftrightarrow </math>

<math> \left\{ \begin{matrix} x + 2 \ge 0 \\ x^3 - 5x + 13 = \left( {x + 2} \right)^2 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>

<math> x^3 - x^2 - 9x + 9 = 0 \Leftrightarrow </math>

 

<math> \left\{ \begin{matrix} x \ge - 2 \\ \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>

Найти все действительные решения уравнения

<math> \sqrt {2x^2 - 4x} = \sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {x^2 - 1}. </math>

 

В ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному уравнению:

 

<math> 2x^2 - 4x = 2x^2 + 2\sqrt {x^4 - 1} \Leftrightarrow </math>

 

<math> \sqrt {x^4 - 1} = - 2x \Leftrightarrow </math>

Решите уравнение

<math>\sqrt {\left| {x^2 + 14x + 47} \right| - 1} = \left| {x + 7} \right| - 1. </math>

 

Здесь удобно сначала сделать замену переменных. Пусть

 

<math> \left\{ \begin{matrix} t \ge 1 \\ \left[ \begin{matrix} t^2 - 2 = t^2 - 2t + 2 \\ t^2 - 2 = - t^2 + 2t - 2 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t \ge 1 \\ \left[ \begin{matrix} t = 2 \\ \left[ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>

 

<math> \left[ \begin{matrix} t = 2 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left[ \begin{matrix} \left| {x + 7} \right.| = 2 \\ \left| {x + 7} \right.| = 1 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} x = - 5 \\ x = - 9 \\ \end{matrix} \right. \\ \left[ \begin{matrix} x = - 6 \\ x = - 8 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. </math>

 

<math> \sqrt {7 - cos x - 6\cos 2x} = 4 \sin x \Leftrightarrow </math>

 

<math> \left\{\begin{matrix} \sin x \ge 0 \\ 7 - \cos x - 6\cos 2x = 16 {\sin}^2 x \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>

(ОДЗ уравнения выполняется автоматически), а затем сделать проверку: подставить найденные решения в заданное уравнение

<math> \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>

 

Обязательна ли проверка? Да, надо отсечь решения уравнения

<math> - \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>

 

Рассмотрим решения уравнения на графике.

 

'''Рис.1'''

 

В данном случае хорошо видно (Рис.1), что полупарабола

Задача свелась к нахождению неотрицательных решений квадратного уравнения

<math> ct^2 - at - bc + ad = 0, </math> что под силу любому школьнику.

 

===Пример 7. (МФТИ, 2000)===

 

==Уравнения вида <math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)}. </math>==

 

Пусть задано уравнение

<math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} . </math>

 

Запишем ОДЗ:

{{Акмар}}

Выбирают ту систему, в которой неравенство проще проверить (решать его не надо!).

 

===Пример 8.===

Решите уравнение

<math>\sqrt {x^2 + x + 1} = \sqrt {x^4 - 4x^2 + x + 7}. </math>

 

Видно, что подкоренное выражение в левой части намного проще, чем в правой, поэтому запишем так полное условие равносильности:

 

<math>\sqrt {x^2 + x + 1} = \sqrt {x^4 - 4x^2 + x + 7} \Leftrightarrow </math>

 

<math>\left\{ \begin{matrix} x^2 + x + 1 > 0 \Leftrightarrow x \in R \\ x^2 + x + 1 = x^4 - 4x^2 + x + 7 \Leftrightarrow x^4 - 5x^2 + 6 = 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>

 

<math> \left[ \begin{matrix} x^2 = 3 \\ x^2 = 2 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = \pm \sqrt 3 \\ x = \pm \sqrt 2 . \\ \end{matrix} \right. </math>

===Пример 9. (МФТИ,1984)===

Решите уравнение <math> \sqrt {6\sin x\cos 2x} = \sqrt { - 7\sin 2x} . </math>

 

Воспользуемся полным условием равносильности (3):

 

<math> \sqrt {6\sin x\cos 2x} = \sqrt { - 7\sin 2x} </math>

 

<math> \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin 2x \le 0, \\ 6\sin x\cos 2x = - 7\sin 2x. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>

 

<math>\left\{ \begin{matrix} \sin 2x \le 0, \\ \sin x\left( {6\cos ^2 x + 7\cos x - 3} \right) = 0. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>

 

<math>\left[ \begin{matrix} \sin x = 0; \\ \left\{ \begin{matrix} 2\sin x\cos x \le 0, \\ \cos x = \frac{1}{3}. \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>

 

<math>\left[ \begin{matrix} x = \pi n, \\ \left\{ \begin{matrix} \sin x \le 0, \\ \cos x = \frac{1}{3}. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \\ \end{matrix} \right.</math>

 

<math> \Leftrightarrow x = - \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n. </math>

 

==Применение графического исследования к решению задач ЕГЭ уровня А.==

 

Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения

 

'''Рис.5'''

 

Это более трудный пример, т. к. не ясно, прямая пересекается с полупараболой (а тогда дважды), касается или вовсе не имеет общих точек с полупараболой. Надо что-то сделать дополнительно, например , подставить такие значения х, при которых корни извлекаются нацело, или поискать точку (x = 5), в которой ясно, что расположено выше &mdash; прямая или полупарабола.

 

г)<math> 5\sqrt {7 - x} = 13 - x? </math>

 

[[Изображение:irrat6.jpg]]

 

'''Ответ:''' 3).