Дан выпуклый четырехугольникчетырёхугольник <math>ABCD</math>, стороны <math>BC</math> и <math>AD</math> которого равны, но не параллельны. Пусть <math>E</math> и <math>F</math> - внутренние точки отрезков <math>BC</math> и <math>AD</math> соответственно такие, что <math>BE</math> = <math>DF</math>. Прямые <math>AC</math> и <math>BD</math> пересекаются в точке <math>P</math>, прямые <math>BD</math> и <math>EF</math> пересекаются в точке <math>Q</math>, прямые <math>EF</math> и <math>AC</math> пересекаются в точке <math>R</math>. Рассмотрим треугольники <math>PQR</math>, получаемые для всех таких точек <math>E</math> и <math>F</math>. Докажите, что окружности, описанные около всех этих треугольников, имеют общую точку, отличную от <math>P</math>.
===Задача 6.===
Строка 54:
===Задача 6.===
Предположив, что верно противное, добавим участникам решенных задач так, чтобы один из них решил 5 задач, а все остальные –ndash; по 4. Далее, суммируя по всем ученикам количество пар решенных задач, и с другой стороны, оценивая эту сумму по всем парам задач, получим противоречие во всех случаях, кроме случая, когда количество участников дает остаток 2 при делении на 5. Оставшийся случай можно разобрать, прибегнув к подсчету двумя способами суммарного количества пар решенных задач, содержащих одну фиксированную задачу. При рассмотрении возникает противоречие с остатками при делении на 3.
