Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 34:
#Примем за нулевой вектор <math>\vec 0</math> строку из n нулей <math>\vec 0=</math>(0,0,...0). Тогда <math>\vec a+\vec 0</math>=(a<sub>1</sub>+0, a<sub>2</sub>+0, a<sub>3</sub>+0,... a<sub>n</sub>+0)=<math>\vec 0+\vec a</math>
#Найдём для вектора <math>\vec a (a_1, a_2,... a_n)</math> обратный ему вектор<math>\vec x(x_1,x_2,...x_n)</math> такой, что <math>\vec a+\vec x=\vec 0</math>. Поскольку сложение векторов осуществляется покоординатно,то <math>(a_1, a_2,... a_n)+(x_1,x_2,...x_n)=(a_1+x_1, a_2+x_2,...a_n+x_n)=(0,0,...0)</math>. Отсюда <math>x_1=-a_1, x_2=-a_2, x_n=-a_n</math>, и вектор <math>\vec x=(-a_1, -a_2,...-a_n)=-\vec a</math>.
#Пусть α и β-произвольные числа.Тогда <center><math>(\alpha\beta)\cdot\vec a=(\alpha\beta)\cdot(a_1, a_2,... a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center><center>α<math>(\beta \vec a)=\alpha\cdot(\beta a_1, \beta a_2,...\beta a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center>, т.е. <math>(\alpha\beta)\vec a=\alpha(\beta \vec a).</math><p>Аксиомы 7
*'''Бесконечномерное арифметическое пространство'''
Назовём арифметическим бесконечномерным вектором бесконечную упорядоченную последовательность из действительных чисел, т.е. <math>\vec a=</math><math>(a_1, a_2, a_3,...a_n...)</math>. Можно проверить, что множество таких последовательностей относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр образуют векторное пространство. Его обычно обозначают <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math>.
Строка 43:
Сказанное можно отнести и к матрицам, элементы которых комплексные числа.
===Упражнения===
#Проверьте, что множество всех векторов плоскости относительно их сложения по правилу параллелограма (или равносильного ему правила треугольника) и умножения на число образует векторное пространство.
#Покажите, что множество комплексных чисел относительно сложения между собой и умножения на скаляр-действительное число образует векторное пространство.
Строка 49:
== Свойства векторных пространств==
Приведённые ниже свойства кажутся в свете представленных выше примеров очевидны, но при аксиоматическом методе любой шаг должны быть логически обоснован, тем более, что векторные пространства вышеприведёнными примерами не исчерпываются.<p>Пусть '''V'''-произвольное векторное пространство а '''P'''▬произвольное множество, являющееся [[w:поле (алгебра)|полем]]. (В примерах , которые были рассмотрены выше, полями являлись множество действительных или комплексных чисел, но существуют и другие поля). Справедливы следующие утверждения:
Свойства 2, 3, 5 докажите самостоятельно.
| |||