Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
Строка 2:
Центральными понятиями линейной алгебры является [[w:вектор|вектор]] и [[w:векторное пространство|векторное пространство]]. При написании этой главы автор предполагает, что читатель знаком с курсом математики средней школы и помнит, как формулируется понятие вектора в курсе школьной геометрии в 9, 10 и 11 классах. Однако в линейной алгебре векторы изучаются с самой общей точки зрения. (Как говорил один мой преподаватель:"Забудьте, что вектор - это палка со стрелкой!!!" ☺)—''примечание автора [[Служебная:Contributions/194.67.2.153|194.67.2.153]]''). Для того, чтобы '''понять, что такое вектор''' воспользуемся так называемым '''аксиоматическим методом.''' Вместо того, чтобы прямо дать определение, что такое вектор, перечислим свойства, которыми он должен обладать, и на основании этих свойств в дальнейшем будем строить нашу теорию. При таком подходе вектор как направленный отрезок - лишь частный случай, пример (модель-как говорят математики) этого понятия.
 
Обычно при аксиоматическом методе описывают не что такое отдельно взятый объект (в нашем случае—«вектор»), а сразу всю их совокупность описанием их основных свойств, которые в свою очередь описываются в предложениях, которые называются аксиомами. В нашем случае совокупность, множество векторов назовём '''векторным пространством.''' Его и опишем с помощью перечисления аксиом. (Рекомендую прочитать об этом соответствующую статью в журнале "Квант",1976г., №4 Башмаков М. , «Что такое вектор?», ''примечание [[Служебнаяhttp:Contributions/194/kvant.67mccme.2ru/1976/04/chto_takoe_vektor.153|194.67.2.153]htm]'').
== Аксиомы векторного пространства ==
Пусть '''V'''- [[w:непустое множество|непустое]] [[w:множество|множество]], элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать <math>\vec a, \vec x, \vec y</math> ...и т.д. Пусть на '''V''' заданы и определены́ каким-либо образом две операции. '''Первая операция'''- [[w:бинарная операция|бинарная]] [[w:аддитивная операция|аддитивная операция]] (или грубо говоря- операция сложения). Эту операцию обозначим знаком '''+''', (впрочем , необязательно, чтобы на все 100% эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим , особым знаком, например так: <math>\oplus </math> ( <math>\vec a \oplus \vec b = \vec c</math>). '''Вторая''' операция - умножение вектора на какой-нибудь элемент <math>\alpha</math> такого множества '''P''', которое является [[w:поле (алгебра)|полем]], в результате которой получается новый вектор: (<math>\alpha \cdot \vec a = \alpha \vec a</math>). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что примерами алгебраических полей могут служить множество действительных, аили также комплексных чисел-суть алгебраические поля).
 
Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства.
#a)сумма любых двух элементов из '''V''' и б)произведение скаляра из '''P''' и произвольного элемента из '''V''' определены́ и являются некоторыми элементами из '''V''' (векторами).
#сложение любых трёх элементов <math>\vec x, \vec y, \vec z</math> из '''V''' подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят - векторное сложение ассоциативно): <math>\vec x+ (\vec y + \vec z) = (\vec x+ \vec y) + \vec z</math>
#сложение любых двух элементов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V''' подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): <math>\vec x + \vec y = \vec y + \vec x</math> .
#существует такой элемент <math>\vec 0</math> из '''V''' (нулевой вектор), что для любого <math>\vec x \quad \vec x+ \vec 0= \vec x</math>.
#для любого элемента из '''V''' существует такой элемент из '''V''', сумма которого с исходным элементом равна <math>\vec 0</math>, т.е. (<math>\forall \vec x \in V) \quad (\exists (-\vec yx)) \quad \vec x + (-\vec yx) = \vec 0</math>. Такие элементы называют ещё обратными друг к другу.
Для любых скаляров (чисел) <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> и для любых двух векторов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V'''
 
:6.<math>(\alpha \beta)\vec x = \alpha(\beta \vec x) </math>
 
:7.<math>(\alpha + \beta)\vec x = \alpha\vec x+ \beta\vec x</math>
 
:8.<math>\alpha(\vec x+\vec y) = \alpha\vec x+\alpha\vec y</math>
 
9.<math>1\vec x=\vec x</math>
 
Замечание: аксиомы 1а,2,3,4 называют ещё аксиомами [[w:абелева группа|абелевой группы]].
Строка 27 ⟶ 29 :
Действительно, пусть <math>\vec a </math> =(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,... a<sub>n</sub>), <math>\vec b</math> =(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>,... b<sub>n</sub>),<math>\vec c</math> =(c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, c<sub>3</sub>,... c<sub>n</sub>)- произвольные векторы из '''R<sup>n</sup>''', а α и β-произвольные числа (скаляры).Тогда
#<math>\vec a +\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>+b<sub>3</sub>,... a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)<math>\in</math>'''V'''; <math>\alpha\vec a=</math>(αa<sub>1</sub>, αa<sub>2</sub>, αa<sub>3</sub>,...αa<sub>n</sub>) <math>\in</math>'''V'''; и эти операции всегда выполнимы.
#<math>(\vec a+\vec b)+\vec c=</math> <big>(</big>(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>)+c<sub>1</sub>, (a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>)+c<sub>2</sub>,...(a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)+c<sub>n</sub><big>)</big>=<big>(</big>a<sub>1</sub>+(b<sub>1</sub>+c<sub>1</sub>), a<sub>2</sub>+(b<sub>2</sub>+c<sub>2</sub>),...a<sub>n</sub>+(b<sub>n</sub>+c<sub>n</sub>)<big>)</big>=<math>\vec a+ (\vec b+\vec c)</math>
#<math>\vec a+\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>,...a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)=(b<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>+a<sub>2</sub>,...b<sub>n</sub>+a<sub>n</sub>)=<math>\vec b+\vec a</math>.
Строка 41 ⟶ 43 :
 
Сказанное можно отнести и к матрицам, элементы которых комплексные числа.
===Упражнения===<math></math><math>
#Проверьте, что множество всех векторов плоскости относительно их сложения по правилу параллелограма (или равносильного ему правила треугольника) и умножения на число образует векторное пространство.
#Покажите, что множество комплексных чисел относительно сложения между собой и умножения на скаляр-действительное число образует векторное пространство.
#Покажите, что множество всех функций, заданных на '''R''' проходящих через точку (0,0) относительно сложения функций и умножения на действительное число образует векторное пространство, а множество функций проходящих через точку (0,5) векторное пространство не образует.
 
== Свойства векторных пространств==
Приведённые ниже свойства кажутся в свете представленных выше примеров очевидны, но при аксиоматическом методе любой шаг должны быть логически обоснован, тем более, что векторные пространства вышеприведёнными примерами не исчерпываются.<p>Пусть '''V'''-произвольное векторное пространство а '''P'''-произвольное▬произвольное множество, являющееся [[w:поле (алгебра)|полем]]. (В примерах , которые были рассмотрены выше, полями являлись множество действительных или комплексных чисел, носуществуютно существуют и другие поля). Справедливы следующие утверждения:
#<math>(\forall \vec x \in V)\quad 0\cdot\vec x=\vec 0</math><center>Доказательство</center>Согласно акс.4<math>\vec x+\vec 0=\vec x</math>. С другой стороны <math>\vec x+0\vec x=</math>(по акс.9)<math>1\vec x+0\vec x=</math>(по акс.7)<math>(1+0)\vec x=\vec x</math>. Т.е. <math>\vec x+\vec 0=\vec x+0\vec x</math>. Согласно [[Линейная алгебра и аналитическая геометрия|свойству 2 в группах]] последнее равенство равносильно <math>\vec 0=0\vec x</math>, ч.т.д.
#<math>(\forall \vec x \in V)\quad 0\cdot\vec x=\vec 0</math><center>Доказательство</center>
#<math>(\forall \alpha \in P)\quad \alpha\cdot\vec 0=\vec 0</math><center>Доказательство</center>
#<math>(\forall \alpha \in P)\ (\forall \vec x \in V)\quad \alpha\vec x=\vec 0 \Rightarrow \alpha=0 \vee \vec x=\vec x0</math><center>Доказательство</center>
#<math>(\forall \vec x \in V)\quad (-1)\vec x=-\vec x</math><center>Доказательство</center><math>\vec x +(-1)\vec x=</math>(по акс.9)<math>1\vec x+(-1)\vec x=</math>(по акс.7)<math>(1+(-1))\vec x=0\vec x=</math>(по св-ву 2 вект. пространства)<math>\vec 0</math> Т.о. с одной стороны <math>\vec x +(-1)\vec x=\vec 0</math>, с другой стороны по акс.4 <math>\vec x+(-\vec x )=\vec 0</math>. Отсюда, как и в свойстве 1, сокращая на <math>\vec x</math>, получаем <math>(-1)\vec x=-\vec x</math>
#<math>(\forall \vec x \in V)\quad (-1)\vec x=-\vec x</math>, т.е. чтобы найти ввектор, обратный к данному, нужно его умножить на скаляр (-1).<center>Доказательство</center>
#<math>(\forall \alpha \in P)\ (\forall \vec x \in V)\quad \alpha(-\vec x)=(-\alpha)\vec x=-(\alpha\vec x)</math><center>Доказательство</center>
 
Свойства 2, 3, 5 докажите самостоятельно.