Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 4:
Обычно при аксиоматическом методе описывают не что такое отдельно взятый объект (в нашем случае—«вектор»), а сразу всю их совокупность описанием их основных свойств, которые в свою очередь описываются в предложениях, которые называются аксиомами. В нашем случае совокупность, множество векторов назовём '''векторным пространством.''' Его и опишем с помощью перечисления аксиом. (Рекомендую прочитать об этом соответствующую статью в журнале "Квант",1976г., №4 Башмаков М. , «Что такое вектор?», ''примечание [[Служебная:Contributions/194.67.2.153|194.67.2.153]]'').
== Аксиомы векторного пространства ==
Пусть '''V'''- [[w:непустое множество|непустое]] [[w:множество|множество]], элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать <math>\vec a, \vec x, \vec y</math> ...и т.д. Пусть на '''V''' заданы и определены́ каким-либо образом две операции. '''Первая операция'''- [[w:бинарная операция|бинарная]] [[w:аддитивная операция|аддитивная операция]] (или грубо говоря- операция сложения). Эту операцию обозначим знаком '''+''', (впрочем , необязательно, чтобы на все 100% эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим , особым знаком, например так: <math>\oplus </math> ( <math>\vec a \oplus \vec b = \vec c</math>). '''Вторая''' операция - умножение вектора на какой-нибудь элемент <math>\alpha</math> такого множества '''P''', которое является [[w:поле (алгебра)|полем]], в результате которой получается новый вектор: (<math>\alpha \cdot \vec a = \alpha \vec a</math>). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что множество действительных, а также комплексных чисел-суть алгебраические поля).
 
Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства.
#a)сумма любых двух элементов из '''V''' и б)произведение скаляра из '''P''' и произвольного элемента из '''V''' определены́ и являются некоторыми элементами из '''V''' (векторами).
#сложение любых трёх элементов <math>\vec x, \vec y, \vec z</math> из '''V''' подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят - векторное сложение ассоциативно): <math>\vec x+ (\vec y + \vec z) = (\vec x+ \vec y) + \vec z</math>
#сложение любых двух элементов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V''' подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): <math>\vec x + \vec y = \vec y + \vec x</math> .
Строка 27:
Действительно, пусть <math>\vec a </math> =(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,... a<sub>n</sub>), <math>\vec b</math> =(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>,... b<sub>n</sub>),<math>\vec c</math> =(c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, c<sub>3</sub>,... c<sub>n</sub>)- произвольные векторы из '''R<sup>n</sup>''', а α и β-произвольные числа (скаляры).Тогда
#<math>\vec a +\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>+b<sub>3</sub>,... a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)<math>\in</math>'''V'''; <math>\alpha\vec a=</math>(αa<sub>1</sub>, αa<sub>2</sub>, αa<sub>3</sub>,...αa<sub>n</sub>) <math>\in</math>'''V'''; и эти операции всегда выполнимы.
#<math>(\vec a+\vec b)+\vec c=</math> <big>(</big>(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>)+c<sub>1</sub>, (a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>)+c<sub>2</sub>,...(a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)+c<sub>n</sub><big>)</big>=<big>(</big>a<sub>1</sub>+(b<sub>1</sub>+c<sub>1</sub>), a<sub>2</sub>+(b<sub>2</sub>+c<sub>2</sub>),...a<sub>n</sub>+(b<sub>n</sub>+c<sub>n</sub>)<big>)</big>=<math>\vec a+ (\vec b+\vec c)</math>
#<math>\vec a+\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>,...a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)=(b<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>+a<sub>2</sub>,...b<sub>n</sub>+a<sub>n</sub>)=<math>\vec b+\vec a</math>.