Викиучебник

Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Нет описания правки
Строка 3:
 
Обычно при аксиоматическом методе описывают не что такое отдельно взятый объект (в нашем случае—«вектор»), а сразу всю их совокупность описанием их основных свойств, которые в свою очередь описываются в предложениях, которые называются аксиомами. В нашем случае совокупность, множество векторов назовём '''векторным пространством.''' Его и опишем с помощью перечисления аксиом. (Рекомендую прочитать об этом соответствующую статью в журнале "Квант",1976г., №4 Башмаков М. , «Что такое вектор?», ''примечание [[Служебная:Contributions/194.67.2.153|194.67.2.153]]'').
=== Аксиомы векторного пространства ===
Пусть '''V'''- [[w:непустое множество|непустое]] [[w:множество|множество]], элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать <math>\vec a, \vec x, \vec y</math> ...и fт.д. Пусть на '''V'''заданы заданаи определены́ каким-либо образом две операции. '''Первая операция'''- [[w:бинарная операция|бинарная]] [[w:аддитивная операция|аддитивная операция]] (или грубо говоря- операция сложения). Эту операцию обозначим знаком '''+''', (впрочем , необязательно, чтобы на все 100% эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим , особым знаком, например так: <math>\oplus </math> ( <math>\vec a \oplus \vec b = \vec c</math>). '''Вторая''' операция - умножение вектора на какой-нибудь скаляр (число)элемент <math>\alpha</math> такого множества, которое является [[w:поле (алгебра)|полем]], в результате которой получается новый вектор (<math>\alpha \cdot \vec a = \alpha \vec a</math>). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что множество действительных, а также комплексных чисел-суть алгебраические поля).
 
Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства.
#a)сумма любых двух элементов из '''V''' и б)произведение скаляра и произвольного элемента из '''V''' являются некоторыми элементами из '''V''' (векторами).
 
#сложение любых трёх элементов <math>\vec x, \vec y, \vec z</math> из '''V''' подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят - векторное сложение ассоциативно): <math>\vec x+ (\vec y + \vec z) = (\vec x+ \vec y) + \vec z</math>
#сложение любых двух элементов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V''' подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): <math>\vec x + \vec y = \vec y + \vec x</math> .
#существует такой элемент <math>\vec 0</math> из '''V''' (или как ещё говорят — нулевой вектор), что для любого <math>\vec x \quad \vec x+ \vec 0= \vec x</math>.
#для любого элемента из '''V''' существует такой элемент из '''V''', сумма которого с исходным элементом равна <math>\vec 0</math>, т.е. (<math>\forall \vec x \in V) \quad (\exists (-\vec x)) \quad \vec x + (-\vec x) = \vec 0</math>. Такой элемент называют ещё обратным или противоположным.
Для любых чиселскаляров (скаляровчисел) <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> и для любых двух векторов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V'''
 
5.<math>(\alpha \beta)\vec x = \alpha(\beta \vec x) </math>▼
 
6.<math>(\alpha + \beta)\vec x = \alpha(\vec x+beta \beta\vec x) </math>
 
7.<math>\alpha(\vecalpha x+ \beta)\vec y)x = \alpha\vec x+ \alphabeta\vec yx</math>
 
▲58.<math>(\alpha \beta)(\vec x+\vec y) = \alpha(\beta \vec x)+\alpha\vec y</math>
Замечание: аксиомы 1-4 называют ещё аксиомами [[w:абелева группа|абелевой группы]].▼
 
▲Замечание: аксиомы 1-1а,2,3,4 называют ещё аксиомами [[w:абелева группа|абелевой группы]].
=== Примеры векторных пространств ===
*'''Конечномерное арифметическое пространство'''
Пусть n-произвольное фиксированное натуральное число, а '''R'''-множество действительных чисел. Назовём арифметическим n-мерным вектором упорядоченную последовательность из n действительных чисел. Как правило такой вектор записывают в виде строки <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>, a числа <math>a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n</math> называют ещё первой, второй и т.д. координатой вектора. Множество всех арифметических n-мерных векторов обозначим '''R<sup>n</sup>'''. Введём операции сложения векторoв по такой формуле: <center>Пусть вектор <math>\vec a</math>=(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, a<sub>4</sub>,... a<sub>n</sub>), а вектор <math>\vec b</math>=(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>, b<sub>4</sub>,... b<sub>n</sub>). Тогда <math>\vec a + \vec b =(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3, a_4+b_4, ... a_n+b_n)</math>.</center>
a yмножение на скаляр α ( то есть на действительное число) по такой формуле: <center>Пусть вектор <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>. Тогда вектор <math>\alpha\vec a =(\alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3, \alpha a_4 ...\alpha a_n)</math>,</center> т.е. сложение и умножение векторов осуществляется покоординатно. Нетрудно видеть , что на множестве '''R<sup>n</sup>''' с только что определёнными выше операциями выполняются все 78 аксиом, т.е. '''R<sup>n</sup>'''-векторное пространство.
Действительно, пусть <math>\vec a </math> =(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,... a<sub>n</sub>), <math>\vec b</math> =(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>,... b<sub>n</sub>),<math>\vec c</math> =(c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, c<sub>3</sub>,... c<sub>n</sub>)- произвольные векторы из '''R<sup>n</sup>''', а α и β-произвольные числа (скаляры).Тогда
#<math>\vec a +\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>+b<sub>3</sub>,... a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)<math>\in</math>'''V'''; <math>\alpha\vec a=</math>(αa<sub>1</sub>, αa<sub>2</sub>, αa<sub>3</sub>,...αa<sub>n</sub>) <math>\in</math>'''V'''.
#<math>(\vec a+\vec b)+\vec c=</math> <big>(</big>(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>)+c<sub>1</sub>, (a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>)+c<sub>2</sub>,...(a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)+c<sub>n</sub><big>)</big>=<big>(</big>a<sub>1</sub>+(b<sub>1</sub>+c<sub>1</sub>), a<sub>2</sub>+(b<sub>2</sub>+c<sub>2</sub>),...a<sub>n</sub>+(b<sub>n</sub>+c<sub>n</sub>)<big>)</big>=<math>\vec a+ (\vec b+\vec c)</math>
#<math>\vec a+\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>,...a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)=(b<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>+a<sub>2</sub>,...b<sub>n</sub>+a<sub>n</sub>)=<math>\vec b+\vec a</math>.
#Примем за нулевой вектор <math>\vec 0</math> строку из n нулей <math>\vec 0=</math>(0,0,...0). Тогда <math>\vec a+\vec 0</math>=(a<sub>1</sub>+0, a<sub>2</sub>+0, a<sub>3</sub>+0,... a<sub>n</sub>+0)=<math>\vec 0+\vec a</math>
#Найдём для вектора <math>\vec a (a_1, a_2,... a_n)</math> обратный ему вектор<math>\vec x(x_1,x_2,...x_n)</math> такой, что <math>\vec a+\vec x=\vec 0</math>. Поскольку сложение векторов осуществляется покоординатно,то <math>(a_1, a_2,... a_n)+(x_1,x_2,...x_n)=(a_1+x_1, a_2+x_2,...a_n+x_n)=(0,0,...0)</math>. Отсюда <math>x_1=-a_1, x_2=-a_2, x_n=-a_n</math>, и вектор <math>\vec x=(-a_1, -a_2,...-a_n)=-\vec a</math>.
#Пусть α и β-произвольные числа.Тогда <center><math>(\alpha\beta)\cdot\vec a=(\alpha\beta)\cdot(a_1, a_2,... a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center><center>α<math>(\beta \vec a)=\alpha\cdot(\beta a_1, \beta a_2,...\beta a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center>, т.е. <math>(\alpha\beta)\vec a=\alpha(\beta \vec a).</math><p>Аксиомы 67 и 78 проверьте самостоятельно в виде несложного упражнения.
*'''Бесконечномерное арифметическое пространство'''
Назовём арифметическим бесконечномерным вектором бесконечную упорядоченную последовательность из действительных чисел, т.е. <math>\vec a=</math><math>(a_1, a_2, a_3,...a_n...)</math>. Можно проверить, что множество таких последовательностей относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр образуют векторное пространство. Его обычно обозначают <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math>.
Строка 43:
===Упражнения===
#Проверьте, что множество всех векторов плоскости относительно их сложения по правилу параллелограма (или равносильного ему правила треугольника) и умножения на число образует векторное пространство.
#Покажите, что векторы в трёхмерном пространстве так, как они определяются в курсе геометрии 10 класса, образуют векторное пространство.
#Покажите, что множество комплексных чисел относительно сложения между собой и умножения на скаляр-действительное число образует векторное пространство.
#Покажите, что множество всех функций, заданных на'''R''' проходящих через точку (0,0) относительно сложения функций и умножения на действительное число образует векторное пространство, а множество функций проходящих через точку (0,5) векторное пространство не образует.
== Свойства векторных пространств==
Приведённые ниже свойства кажутся в свете представленных выше примеров очевидны, но при аксиоматическом методе любой шаг должны быть логически обоснован, тем более, что векторные пространства вышеприведёнными примерами не исчерпываются.<p>Пусть '''V'''-произвольное векторное пространство а '''P'''▬произвольное множество, являющееся [[w:поле (алгебра)|полем]]. (В примерах , которые были рассмотрены выше, полями являлись множество действительных или комплексных чисел, носуществуют и другие поля). Справедливы следующие утверждения:
#<math>(\forall \vec x \in V)\quad 0\cdot\vec x=\vec 0</math><center>Доказательство</center>
#<math>(\forall \alpha \in P)\quad \alpha\cdot\vec 0=\vec 0</math><center>Доказательство</center>
#<math>(\forall \alpha \in P)\ (\forall \vec x \in V)\quad \alpha\vec x=\vec 0 \Rightarrow \alpha=0 \vee \vec x=\vec x</math><center>Доказательство</center>
#<math>(\forall \vec x \in V)\quad (-1)\vec x=-\vec x</math><center>Доказательство</center>
#<math>(\forall \alpha \in P)\ (\forall \vec x \in V)\quad \alpha(-\vec x)=(-\alpha)\vec x=-(\alpha\vec x)</math><center>Доказательство</center>
Источник — https://ru.wikibooks.org/wiki/Линейная_алгебра_и_аналитическая_геометрия/Определение_векторного_пространства