Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 35:
*'''Бесконечномерное арифметическое пространство'''
Назовём арифметическим бесконечномерным вектором бесконечную упорядоченную последовательность из действительных чисел, т.е. <math>\vec a=</math><math>(a_1, a_2, a_3,...a_n...)</math>. Можно проверить, что множество таких последовательностей относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр образуют векторное пространство. Его обычно обозначают <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math>.
Пусть m и n-два каких-то фиксированных натуральных числа.Можно также показать, что множество всех матриц совпадающих размеров относительно их сложения и умножения на число (см. [[Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Матрицы и определители|эдесь]]) образуют векторное пространство. Проверьте, например, что матрица, у которой все элементы равны 0 играет роль нулевого вектора, а для матрицы A роль противоположного элемента играет матрица -A, у которой все соответствующие элементы из A взяты с противоположным знаком.
*'''Ещё примеры'''
Вводя понятие конечно- или бесконечномерного вектора, мы говорили что координаты и скаляры- жейсвительные числа. Но нетрудно видеть, что упорядоченные последовательности из n комплесных чисел, (т.е. координаты вектора будут комплесными числами), относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр, являющегося тоже комплексным числом, тоже образуют векторное пространство (обозначим его '''C<sup>n</sup>''') и при этом '''R<sup>n</sup>'''<math>\subset </math>'''C<sup>n</sup>.'''
Сказанное можно отнести и к матрицам, элементы которых комплексные числа.
===Упражнения===
#Проверьте, что множество всех векторов плоскости относительно их сложения по правилу параллелограма (или равносильного ему правила треугольника) и умножения на число образует векторное пространство.
#Покажите, что векторы в трёхмерном пространстве так, как они определяются в курсе геометрии 10 класса, образуют векторное пространство.
#Покажите, что множество комплексных чисел относительно сложения между собой и умножения на скаляр-действительное число образует векторное пространство.
| |||