Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 22:
Замечание: аксиомы 1-4 называют ещё аксиомами [[w:абелева группа|абелевой группы]].
*'''Конечномерное арифметическое пространство'''
Пусть n-произвольное фиксированное натуральное число, а '''R'''-множество действительных чисел. Назовём арифметическим n-мерным вектором упорядоченную последовательность из n действительных чисел. Как правило такой вектор записывают в виде строки <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>, a числа <math>a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n</math> называют ещё первой, второй и т.д. координатой вектора. Множество всех арифметических n-мерных векторов обозначим '''R<sup>n</sup>'''. Введём операции сложения векторoв по такой формуле: <center>Пусть вектор <math>\vec a</math>=(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, a<sub>4</sub>,... a<sub>n</sub>), а вектор <math>\vec b</math>=(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>, b<sub>4</sub>,... b<sub>n</sub>). Тогда <math>\vec a + \vec b =(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3, a_4+b_4, ... a_n+b_n)</math>.</center>
Строка 31:
#<math>\vec a+\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>,...a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)=(b<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>+a<sub>2</sub>,...b<sub>n</sub>+a<sub>n</sub>)=<math>\vec b+\vec a</math>.
#Примем за нулевой вектор <math>\vec 0</math> строку из n нулей <math>\vec 0=</math>(0,0,...0). Тогда <math>\vec a+\vec 0</math>=(a<sub>1</sub>+0, a<sub>2</sub>+0, a<sub>3</sub>+0,... a<sub>n</sub>+0)=<math>\vec 0+\vec a</math>
#Найдём для вектора <math>\vec a (a_1, a_2,... a_n)</math> обратный ему вектор<math>\vec x(x_1,x_2,...x_n)</math> такой, что <math>\vec a+\vec x=\vec 0</math>. Поскольку сложение векторов осуществляется покоординатно,то <math>(a_1, a_2,... a_n)+(x_1,x_2,...x_n)=(a_1+x_1, a_2+x_2,...a_n+x_n)=(0,0,...0)</math>. Отсюда <math>x_1=-a_1, x_2=-a_2, x_n=-a_n</math>, и вектор <math>\vec x=(-a_1, -a_2,...-a_n)=-\vec a</math>.
#Пусть α и β-произвольные числа.Тогда <center><math>(\alpha\beta)\cdot\vec a=(\alpha\beta)\cdot(a_1, a_2,... a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center><center>α<math>(\beta \vec a)=\alpha\cdot(\beta a_1, \beta a_2,...\beta a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center>, т.е. <math>(\alpha\beta)\vec a=\alpha(\beta \vec a).</math><p>Аксиомы 6 и 7 проверьте самостоятельно в виде несложного упражнения.
*'''Бесконечномерное арифметическое пространство'''
Назовём арифметическим бесконечномерным вектором бесконечную упорядоченную последовательность из действительных чисел, т.е. <math>\vec a=</math><math>(a_1, a_2, a_3,...a_n...)</math>. Можно проверить, что множество таких последовательностей относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр образуют векторное пространство. Его обычно обозначают <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math>.
===*'''Пространство матриц'''===
| |||