Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 24:
=== Примеры векторных пространств===
*'''Конечномерное арифметическое пространство'''
Пусть n-произвольное фиксированное натуральное число, а '''R'''-множество действительных чисел. Назовём арифметическим n-мерным вектором упорядоченную последовательность из n действительных чисел. Как правило такой вектор записывают в виде строки <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>, a числа <math>a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n</math> называют ещё первой, второй и т.д. координатой вектора. Множество всех арифметических n-мерных векторов обозначим '''R<sup>n</sup>'''. Введём операции сложения векторoв по такой формуле: <center>Пусть вектор <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>, а вектор <math>\vec b =(b_1, b_2, b_3, b_4 ... b_n)</math>. Тогда <math>\vec a + \vec b =(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3, a_4+b_4, ... a_n+b_n)</math>.</center>▼
a yмножение на скаляр α ( то есть на число) по такой формуле: <center>Пусть вектор <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>. Тогда вектор <math>\alpha\vec a =(\alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3, \alpha a_4 ...\alpha a_n)</math>,</center> т.е. сложение и умножение векторов осуществляется покоординатно. Нетрудно видеть , что на множестве '''R<sup>n</sup>''' с только что определёнными выше операциями выполняются все 7 аксиом, т.е. '''R<sup>n</sup>'''-векторное пространство.
▲Пусть n-произвольное фиксированное натуральное число, а '''R'''-множество действительных чисел. Назовём арифметическим n-мерным вектором упорядоченную последовательность из n действительных чисел. Как правило такой вектор записывают в виде строки <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>. Множество всех арифметических n-мерных векторов обозначим '''R<sup>n</sup>'''. Введём операции сложения векторoв по такой формуле:
Пусть <math>\vec a </math> =(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,... a<sub>n</sub>), <math>\vec b</math> =(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>,... b<sub>n</sub>),<math>\vec c</math> =(c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, c<sub>3</sub>,... c<sub>n</sub>)- произвольные векторы из '''R<sup>n</sup>'''.
#Тогда <math>(\vec a+\vec b)+\vec c=</math> <big>(</big>(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>)+c<sub>1</sub>, (a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>)+c<sub>2</sub>,...(a<sub>n</sub>+b<sub>n</sub>)+c<sub>n</sub><big>)</big>=<big>(</big>a<sub>1</sub>+(b<sub>1</sub>+c<sub>1</sub>), a<sub>2</sub>+(b<sub>2</sub>+c<sub>2</sub>),...a<sub>n</sub>+(b<sub>n</sub>+c<sub>n</sub>)<big>)</big>=<math>\vec a+ (\vec b+\vec c)</math>
#<math>\vec a+\vec b</math>=(a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>), a<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>),...a<sub>n</sub>+(b<sub>n</sub>)=(b<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>+a<sub>2</sub>,...b<sub>n</sub>+a<sub>n</sub>)=<math>\vec b+\vec a</math>.
#Примем за нулевой вектор <math>\vec 0</math> строку из n нулей <math>\vec 0=</math>(0,0,...0). Тогда <math>\vec a+\vec 0</math>=(a<sub>1</sub>+0, a<sub>2</sub>+0, a<sub>3</sub>+0,... a<sub>n</sub>+0)=<math>\vec 0+\vec a</math>
| |||