Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
Нет описания правки
Строка 4:
Обычно при аксиоматическом методе описывают не что такое отдельно взятый объект (в нашем случае—«вектор»), а сразу всю их совокупность описанием их основных свойств, которые в свою очередь описываются в предложениях, которые называются аксиомами. В нашем случае совокупность, множество векторов назовём '''векторным пространством.''' Его и опишем с помощью перечисления аксиом. (Рекомендую прочитать об этом соответствующую статью в журнале "Квант",1976г., №4 Башмаков М. , «Что такое вектор?», ''примечание [[Служебная:Contributions/194.67.2.153|194.67.2.153]]'').
=== Аксиомы векторного пространства ===
Пусть '''V'''- [[w:непустое множество|непустое]] [[w:множество|множество]], элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать <math>\vec a, \vec x, \vec y</math> ...и fт.д. Пусть на '''V''' задана каким-либо образом две операции. '''Первая операция'''- [[w:бинарная операция|бинарная]] [[w:аддитивная операция|аддитивная операция]] (или грубо говоря- операция сложения). Эту операцию обозначим знаком '''+''', (впрочем , совсем необязательно, чтобы на все 100% или даже 200% эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим , особым знаком, например так: <math>\oplus </math> ( <math>\vec a \oplus \vec b = \vec c</math>). '''Вторая''' операция - умножение вектора на какоекакой-нибудь скаляр (число) <math>\alpha</math> , в результате которой получается новый вектор (<math>\alpha \cdot \vec a = \alpha \vec a</math>).
 
Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства.
 
#длясложение любых трёх элементов <math>\vec x, \vec y, \vec z</math> из '''V''' выполняетсяподчиняется сочетательныйсочетательному закону (ассоциативный)или законкак векторногоещё сложенияговорят - векторное сложение ассоциативно): <math>\vec x+ (\vec y + \vec z) = (\vec x+ \vec y) + \vec z</math>
#длясложение любых двух элементов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V''' выполняетсяподчиняется переместительныйпереместительному закону (коммутативный)векторное законсложение векторного сложениякоммутативно): <math>\vec x + \vec y = \vec y + \vec x</math> .
#существует такой элемент <math>\vec 0</math> из '''V''' (нулевой вектор), что для любого <math>\vec x \quad \vec x+ \vec 0= \vec x</math>.
#для любого вектораэлемента существует такой векторэлемент, сумма которого с исходным векторомэлементом равна <math>\vec 0</math>, т.е. (<math>\forall \vec x \in V) \quad (\exists (-\vec x)) \quad \vec x + (-\vec x) = \vec 0</math>.
Для любых чисел (скаляров) <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> и для любых двух векторов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V'''
 
Строка 22:
Замечание: аксиомы 1-4 называют ещё аксиомами [[w:абелева группа|абелевой группы]].
=== Примеры векторных пространств===
*'''Конечномерное арифметическое пространство'''
 
Пусть n-произвольное фиксированное натуральное число, а '''R'''-множество действительных чисел. Назовём арифметическим n-мерным вектором упорядоченную последовательность из n действительных чисел. Как правило такой вектор записывают в виде строки <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>. Множество всех арифметических n-мерных векторов обозначим '''R<sup>n</sup>'''. Введём операции сложения векторoв по такой формуле:
<center>Пусть вектор <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>, а вектор <math>\vec b =(b_1, b_2, b_3, b_4 ... b_n)</math>. Тогда <math>\vec a + \vec b =(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3, a_4+b_4, ... a_n+b_n)</math>.</center>
a yножение на скаляр α ( то есть на число)