Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Новая: Центральными понятиями линейной алгебры является w:вектор и векторное пространство. При написа... |
Нет описания правки |
||
Строка 1:
{{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}}
Центральными понятиями линейной алгебры является [[w:вектор|вектор]] и [[векторное пространство|векторное пространство]]. При написании этой главы автор предполагает, что читатель знаком с курсом математики средней школы и помнит, как формулируется понятие вектора в курсе школьной геометрии в 9, 10 и 11 классах. Однако в линейной алгебре векторы изучаются с самой общей точки зрения. (Как говорил один мой преподаватель:"Забудьте, что вектор - это палка со стрелкой!!!" ☺)—''примечание автора [[Служебная:Contributions/194.67.2.153|194.67.2.153]]''). Для того, чтобы '''понять, что такое вектор''' воспользуемся так называемым '''аксиоматическим методом.''' Вместо того, чтобы прямо дать определение, что такое вектор, перечислим свойства, которыми он должен обладать, и на основании этих свойств в дальнейшем будем строить нашу теорию. При таком подходе вектор как направленный отрезок - лишь частный случай, пример (модель-как говорят математики) этого понятия.
Обычно при аксиоматическом методе описывают не что такое отдельно взятый объект (в нашем случае—«вектор»), а сразу всю их совокупность описанием их основных свойств, которые в свою очередь описываются в предложениях, которые называются аксиомами. В нашем случае совокупность, множество векторов назовём '''векторным пространством.''' Его и опишем с помощью перечисления аксиом. (Рекомендую прочитать об этом соответствующую статью в журнале "Квант",1976г., №4 Башмаков М. , «Что такое вектор?», ''примечание [[Служебная:Contributions/194.67.2.153|194.67.2.153]]'').
=== Аксиомы векторного пространства ===
Пусть '''V'''- [[w:непустое множество|непустое]] [[w:множество|множество]], элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать <math>\vec a, \vec x, \vec y</math> ...и fт.д. Пусть на '''V''' задана каким-либо образом две операции. '''Первая операция'''- [[w:бинарная операция|бинарная]] [[w:аддитивная операция|аддитивная операция]] (или грубо говоря- операция сложения). Эту операцию обозначим знаком '''+''', (впрочем , совсем необязательно, чтобы на все 100% или даже 200% эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим , особым знаком, например так: <math>\oplus </math> ( <math>\vec a \oplus \vec b = \vec c</math>). '''Вторая''' операция - умножение вектора на какое-нибудь число <math>\alpha</math> , в результате которой получается новый вектор (<math>\alpha \cdot \vec a = \alpha \vec a</math>).
| |||