Высшая математика. Первый семестр/Функции и их графики: различия между версиями

+1
(+1)
== Основные определения ==
 
=== Функция ===
Пусть <math> A</math> и <math> B</math>  — два произвольных множества. Функцией <math> f</math> из <math> A</math> в <math> B</math> называется соответствие между элементами множества <math> A</math> и множества <math> B</math>, при котором каждому элементу <math> x\in A</math> сопоставляется какой-либо один элемент <math> {y\in B}</math>. При этом <math> y</math> называется значением функции <math> f</math> на элементе <math> x</math>, что записывается как <math> {y=f(x)}</math> или <math> f:x\mapsto y</math>. Тот факт, что функция <math> f</math> переводит элементы <math> x\in A</math> в элементы <math> y\in B</math>, записывается так: <math> f:A\to B</math>. Множество <math> A</math> называется областью определения функции <math> f</math> и обозначается <math> \mathcal{D}(f)</math>.
 
[[Изображение:math1.png|thumb|Множество <math> A</math> отображается функцией <math> f</math> в множество <math> B</math> ]]
 
'''Пример:''' Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров <math> {A=\{1;2;\dots;20\}}</math> и множество <math> B</math>  — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие <math> f</math>, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента,  — это функция <math> f:n\mapsto F</math>, где <math> n</math>  — номер студента в группе (от 1 до 20) и <math> F</math>  — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение <math> f(n)</math> определено для всех <math> n\in A</math>. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества <math> B</math>  — множества всевозможных фамилий  — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов <math> \in B</math> не будет значением <math> f(n)</math> ни при каком <math> n\in A</math>. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах <math> n_1\in A</math> и <math> n_2\in A</math> элемент Петров <math> \in B</math> будет значением функции <math> f</math>, то есть <math> f(n_1)=Petrov</math> и <math> f(n_2)=Petrov</math>.
 
На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции
<math>\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in B:\ y=f(x),\ x\in A\}</math>
 
не обязано совпадать со всем множеством <math> B</math>, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие <math> x_1,x_2\in\mathcal{D}(f)</math>, что <math> x_1\ne x_2</math>, но <math> f(x_1)=f(x_2)</math>. В таком случае часто говорят, что элементы <math> x_1</math> и <math> x_2</math> склеиваются при отображении <math> f</math>.
 
=== Отображение функции ===
Если <math> \mathcal{E}(f)=B</math>, то есть для любого элемента <math> y\in B</math> найдётся элемент <math> x\in A</math> такой, что <math> f(x)=y</math>, то функция <math> f</math> называется отображением <math> A</math> на <math> B</math> (напомним, что в общем случае <math> f</math>  — это отображение из <math> A</math> в <math> B</math>). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией.
 
Если для любых двух разных элементов <math> x_1,x_2\in A</math> (<math> x_1\ne x_2</math>) значения <math> f(x_1),f(x_2)\in B</math> тоже разные (<math> f(x_1)\ne f(x_2)</math>), то отображение <math> f</math> называется вложением множества <math> A</math> в множество <math> B</math>, или инъективным отображением (инъекцией).
 
'''Пример 1:''' Пусть <math> A=\mathbb{R}, B=[-1;1]</math> и отображение <math> f</math> для <math> x\in A</math> задано формулой <math> f(x)=\sin x</math>. Тогда <math> f</math>  — сюръекция, так как любое число <math> y</math> из отрезка <math> [-1;1]</math> равно значению <math> \sin x</math> при некотором <math> x</math>.
 
[[Изображение:sinx.png|thumb|Все числа <math> y\in[-1;1]</math>  — это значения функции <math> \sin x</math> ]]
 
'''Пример 2:''' Пусть <math> A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}</math> и отображение <math> f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> задано при <math> x\in\mathbb{R}</math> формулой <math> f(x)=x^3</math>. Тогда отображение <math> f</math> одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как
1) любое значение <math> y\in\mathbb{R}</math> есть значение <math> x^3</math> при некотором <math> x</math> (а именно, при <math> x=\sqrt[3]{y}</math>);
2) никакие два разных значения <math> x_1,x_2\in\mathbb{R}</math> не могут дать одинаковых значений <math> x_1^3=x_2^3</math>, так как из неравенства <math> x_1<x_2</math> следует неравенство <math> x_1^3<x_2^3</math>.
 
[[Изображение:cubediff.png|thumb|Кубы разных чисел не совпадают]]
 
=== Взаимно-однозначное соответствие ===
Отображение <math> f:A\to B</math>, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между <math> A</math> и <math> B</math>, или биекцией. Это означает, что каждому элементу <math> x\in A</math> сопоставляется ровно один элемент <math> y\in B</math>, причём для каждого элемента <math> y\in B</math> имеется такой элемент <math> x\in A</math>, который сопоставлен этому <math> y</math>.
 
'''Замечание:''' Если отображение <math> f:A\to B</math>  — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества <math> A</math> и множеством значений функции <math> \mathcal{E}(f)</math>, то есть частью множества <math> B</math>. Пусть <math> \mathcal{E}(f)=B'</math>. Тогда функция <math> f</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами <math> A</math> и <math> B'</math>. (Более формально: функция <math> f_1:A\to B'</math>, совпадающая с <math> f</math> при всех <math> x\in A</math>,  — это биекция. В таких ситуациях, когда функции <math> f</math> и <math> f_1</math> имеют одну и ту же область определения <math> A</math> и их значения совпадают при всех <math> x\in A</math>, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае  — буквой <math> f</math>.)
 
[[Изображение:math2.png|thumb|Множество <math> \mathcal{D}(f)</math> взаимно-однозначно отображается на множество <math> \mathcal{E}(f)</math> ]]
 
'''Пример 1:''' При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто <math> p</math> соответствует ровно один выданный номерок <math> n</math>. Таким образом, между множеством <math> P</math> сданных пальто и множеством выданных номерков <math> N'</math> (<math> N'</math>  — это подмножество множества <math> N</math> всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция <math> f: p\mapsto n</math> (<math> p\in P</math>, <math> n\in N'</math>).
 
=== Обратная функция ===
Если <math> f:A\to B</math>  — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому <math> y\in B</math> тот элемент <math> x\in A</math>, который переходит в этот самый <math> y</math> при отображении <math> f</math>, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению <math> f</math> и обозначается <math> f^{-1}</math>. Таким образом, <math> f^{-1}:B\to A</math>, и <math> f^{-1}(y)=x</math> тогда и только тогда, когда <math> f(x)=y</math> (<math> x\in A</math>, <math> y\in B</math>).
 
'''Пример 1:''' В условиях примера 1.4 отображение <math> f:P\to N'</math>  — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков <math> n\in N'</math> находят соответствующее номерку пальто <math> p\in P</math>. Соответствие <math> g:N'\to P</math>, <math> n\mapsto p</math> (<math> n\in N'</math>, <math> p\in P</math>)  — это обратная функция к функции <math> f:P\to N'</math>, <math> p\mapsto n</math>, то есть <math> g=f^{-1}</math>.
 
Очевидно, что в случае, если <math> f:A\to B</math>  — биекция и <math> f^{-1}</math>  — обратная к <math> f</math> функция, то <math> f^{-1}(f(x))=x</math> для всех <math> x\in A</math> и <math> f(f^{-1}(y))=y</math> для всех <math> y\in B</math>. Последнее равенство показывает, что <math> (f^{-1})^{-1}=f</math> и что функции <math> f</math> и <math> f^{-1}</math> взаимно обратны. (То есть если <math> g</math>  — функция, обратная к <math> f</math>, то <math> f</math>  — функция, обратная к <math> g</math>.)
 
[[Изображение:f-1.png|thumb|Функции <math> f</math> и <math> f^{-1}</math> взаимно обратны]]
 
 
Итак, для того чтобы функция <math> f:A\to B</math> имела обратную функцию <math> f^{-1}:B\to A</math>, функция <math> f</math> должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между <math> A</math> и <math> B</math>. Тогда обратная функция <math> f^{-1}</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между <math> B</math> и <math> A</math>.
 
'''Пример 2:''' Функция <math> f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)</math>, заданная формулой <math> y=f(x)=x^2</math>,  — это биекция. Обратная к ней функция  — это квадратный корень: <math> x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}</math>.
 
[[Изображение:sqrtx.png|thumb|Функции <math> y=x^2</math> и <math> x=\sqrt{y}</math> — взаимно обратны]]
 
В математическом анализе основную роль играют такие функции <math> f</math>, у которых значениями служат вещественные числа, то есть <math> \mathcal{E}(f)\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции <math> f</math> называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6  — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются.
 
А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой.
 
'''Пример 3:''' Пусть <math> A</math>  — множество всевозможных отрезков <math> CD</math>, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки <math> C</math> и <math> D</math>) не совпадают. Пусть соответствие <math> f</math> сопоставляет каждому такому отрезку <math> CD</math> его длину <math> f(CD)=\vert CD\vert</math>. Так как длина отрезка  — число, то <math> f</math>  — числовая функция, <math> f:A\to\mathbb{R}</math>. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: <math> \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}</math>.
 
Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями <math> f</math>, область определения которых <math> \mathcal{D}(f)</math> также является подмножеством числовой прямой <math> \mathbb{R}</math>, то есть такими функциями <math> f:A\to B</math>, где <math> A\subset\mathbb{R}</math> и <math> B\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых  — подмножество в пространстве <math> \mathbb{R}^n</math>, равном прямому произведению <math> n</math> экземпляров множества <math> \mathbb{R}</math> (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже).
 
=== График функции ===
Графиком функции <math>f:A\to B</math> называется множество пар <math>(x;y)</math> элементов <math>x\in A</math> и <math>y\in B</math>, такое, что в каждой паре <math>(x;y)</math> второй элемент <math>y</math> — это значение функции <math>f(x)</math>, соответствующее первому элементу пары, то есть <math>x</math>.
 
Рассмотрим множество всевозможных пар <math>(x;y)</math>, где <math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества <math>A</math> на множество <math>B</math> и обозначается <math>A\times B</math>.
 
Ясно, что график <math>{\Gamma}_f</math> функции <math>f</math> — это подмножество прямого произведения <math>A\times B</math> :
 
<math>{\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\subset A\times B.</math>
 
В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times[-1;1]</math> ; график примера 1.3 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> ; оба графика примера 1.6 — подмножества в <math>\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2</math> (здесь мы ввели обозначение <math>\mathbb{R}_+=[0;+\infty)</math>, которого будем придерживаться и далее).
 
'''Пример 1:''' Пусть <math>A</math> — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости <math>\mathbb{R}^2</math> с координатами <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, с центром в точке <math>O(0;0)</math>. Функцию <math>f</math> в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки <math>(x_1;x_2)</math> до центра. Таким образом, <math>f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math>, где <math>x=(x_1;x_2)\in A\subset R^2</math>.
 
Графиком <math>{\Gamma}_f</math> этой функции является подмножество прямого произведения <math>A\times\mathbb{R}</math>. Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве <math>\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math>. Обозначим координаты точек в <math>\mathbb{R}^3</math> через <math>x_1,x_2,y</math>. Тогда графику <math>{\Gamma}_f</math> принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения <math>y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math> и <math>x_1^2+x_2^2\leqslant 1</math>.
 
Множество <math>G_f</math> представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке <math>(0;0;0)</math>, с высотой 1 и радиусом основания 1.
 
[[Изображение:konus.png|thumb|График расстояния до точки <math>O</math> — это конус]]
 
Как мы видим, в случае, когда <math>A</math> — подмножество плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, график числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> — это подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>. Если же <math>A</math> — подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>, то графиком числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> будет подмножество <math>{\Gamma}_f</math> четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества <math>A\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4</math>. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график <math>{\Gamma}_f</math> описать каким-то иным способом.
 
'''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^3</math> и для каждой точки <math>x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3</math> значение функции <math>f</math> в этой точке — это квадрат расстояния от <math>x</math> до точки <math>O(0;0;0)</math>, то есть <math>f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2</math>. Тогда график <math>{\Gamma}_f</math> — это подмножество в <math>\mathbb{R}^4</math> :
 
<math>{\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.</math>
 
Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула <math>y=x_1^2+x_2^2+x_3^2</math> позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}</math> — это парабола <math>y=x_1^2</math> в плоскости <math>x_1Oy</math>, а сечение трёхмерным пространством <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}</math> — это одна точка <math>(0;0;0;0)</math>.
 
Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.
 
Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида <math>{y=f(x)}</math>. Способ задания функции <math>f:A\to B</math> зависит от того, какова природа множеств <math>A</math> и <math>B</math> и как по заданному <math>x\in A</math> определяется <math>{y=f(x)\in B}</math>. Выделим основные из этих способов.
 
== Способы описания функций ==
Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> конечно и состоит из <math>N</math> элементов <math>x_1,x_2,\dots,x_N</math>, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе <math>x\in A</math>. Часто это делают в виде таблицы:
{| border="1" width="150px"
|<math>x</math> ||<math>x_1</math> ||<math>x_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>x_N</math>
|-
|<math>y</math> ||<math>y_1</math> ||<math>y_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>y_N</math>
|}
 
В верхней строке таблицы перечисляются все <math>N</math> элементов конечного множества <math>A</math>, а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк.
 
=== С помощью формулы ===
Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция <math>f:x\mapsto y</math> может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента <math>x</math> найти соответствующее ему значение <math>y</math>, например:
* <math>f(x)=\arcsin x,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[-1;1];</math>
* <math>f(x)=\sqrt[4]{x},</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[0;+\infty);</math>
* <math>f(x)=\ln(1-x),</math> при <math>\mathcal{D}(f)=(-\infty;1);</math>
* <math>f(x)=\ln x_1x_2,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\subset\mathbb{R}^2.</math>
 
'''Замечание:''' Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах <math>A</math>, считаются различными. Так, функция <math>f(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[0;1]</math> и функция <math>g(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[-1;1]</math> — это две разные функции, так как функция <math>f</math> устанавливает соответствие между точками множества <math>[0;1]</math> и некоторыми точками числовой прямой, а функция <math>g</math> — между точками другого множества <math>[-1;1]</math> и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как <math>{f(x)=g(x)}</math> при всех <math>{x\in[0;1]}</math>.
 
=== Ограничение функции ===
Если дана функция <math>f:A\to B</math>, и <math>A\subset A</math>, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции <math>f</math> только на элементах <math>x\in A</math>. Эта функция <math>f: A\to B</math> определена равенством <math>f(x)=f(x)</math> при <math>x\in A</math>. Функция <math>f</math> называется ограничением функции <math>f</math> на подмножество <math>A\subset A</math> её области определения <math>A=\mathcal{D}(f)</math> и обозначается <math>f\vert _{A}</math>, то есть <math>f=f\vert _{A}</math>.
 
'''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}</math> — числовая плоскость и функция <math>f</math> задана формулой
 
<math>f(x;y)=x^2+2xy-y^2.</math>
 
Рассмотрим на плоскости <math>A</math> подмножество — прямую линию <math>L</math>, заданную уравнением <math>x+y=1</math>. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции <math>f\vert _L</math> точки только прямой <math>L</math>. Ограничение <math>f\vert _L(x;y)</math> определено только при <math>x+y=1</math>, поэтому его, кроме исходной формулы
 
<math>f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,</math>
 
можно задать такими формулами:
 
<math>f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1</math> (1.1)
 
(так как <math>y=1-x</math> на прямой <math>L</math> ), или
 
<math>f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1</math> (1.2)
 
(так как <math>x=1-y</math> на прямой <math>L</math> ). Во всех точках <math>(x;y)</math> прямой <math>L</math> все три формулы дают одно и то же значение функции <math>f\vert _L</math>. Мы видим, что формула (1.1) даёт для <math>f\vert _L</math> те же значения, что функция одного переменного <math>x</math> : <math>f_1(x)=-2x^2+4x-1</math>, а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного <math>y</math> : <math>f_2(y)=-2y^2+1</math>.
 
Две последние функции называются параметризациями ограничения <math>f\vert _L</math>.
 
'''Пример 2:''' Пусть <math>f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2</math> — функция, заданная во всех точках плоскости <math>\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}</math>. Пусть <math>A=l</math> — прямая <math>x_2=1</math> на плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>. Тогда функция <math>f(x)=f\vert _l(x)</math> равна <math>x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2</math>. Формально ограничение зависит от точек <math>(x_1,x_2)</math> плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, но только таких, что <math>x_2=1</math>. Поэтому задание этого ограничения <math>f(x_1,x_2)</math> эквивалентно заданию числовой функции одного переменного <math>g(x_1)=x_1^2+2x_1+2</math>. Функция <math>g</math> — это одна из возможных параметризаций функции <math>f\vert _l</math>.
 
'''Замечание:''' Во многих учебных примерах при задании функции <math>f</math> при помощи формулы не указывают область определения <math>\mathcal{D}(f)</math>. При этом по умолчанию предполагается, что область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> — максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента <math>x</math>, для которых задающее функцию <math>f</math> выражение <math>f(x)</math> имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область <math>\mathcal{D}(f)</math>, если в этом возникнет необходимость.
 
'''Пример 3:''' Пусть функция <math>f</math> задана формулой
 
<math>f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\subset\mathbb{R}.</math>
 
По умолчанию считается, что области <math>\mathcal{D}(f)</math> принадлежат все те точки <math>x\in\mathbb{R}</math>, что <math>{x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}</math>. Разумеется, для каждой заданной точки <math>x_0</math> проверить это условие несложно, однако описать множество <math>\mathcal{D}(f)</math> в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство.
 
Если <math>\mathcal{D}(f)</math> — это множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, то функция <math>f:\mathbb{N}\to B</math> называется последовательностью. Так как <math>\mathbb{N}</math> содержит бесконечное множество чисел <math>1,2,3,\dots</math>, то задать <math>f</math> в виде таблицы значений <math>y_n=f(n)</math>, где <math>n\in\mathbb{N}</math>, вообще говоря, нельзя. Однако если функция <math>f(n)</math> легко угадывается по своим значениям <math>y_n</math> при небольших <math>n</math>, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.
 
'''Пример 4:''' Пусть <math>y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots</math>. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что <math>f(n)=n^2</math> при любом <math>n\in\mathbb{N}</math>. Эта формула не противоречит выписанным значениям <math>f_1,f_2,f_3</math> и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения <math>f_1,f_2,f_3</math>, но, быть может, другие значения <math>f_4=f(4),f_5=f(5),\dots</math>.
 
'''Пример 5:''' Последовательность чисел Фибоначчи <math>f_n</math> задаётся так: два первых члена полагают равными единице (<math>f_1=1,f_2=1</math> ), а при <math>n\geqslant 3</math> вычисляют <math>f_n</math> по формуле <math>f_n=f_{n-1}+f_{n-2}</math>. Таким образом, <math>f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8</math> и т. д.1
 
=== Указание процедуры вычисления ===
'''Замечание:''' Во многих учебных примерах при задании функции <math>f</math>при помощи формулы не указывают область определения <math>\mathcal{D}(f)</math>. При этом по умолчанию предполагается, что область определения <math>\mathcal{D}(f)</math>— максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента <math>x</math>, для которых задающее функцию <math>f</math>выражение <math>f(x)</math>имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область <math>\mathcal{D}(f)</math>, если в этом возникнет необходимость.
Во многих случаях функцию <math>f</math> приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример.
 
'''Пример:''' Пусть <math>a\in\mathbb{R}</math> и <math>f(a)</math> — это наибольший корень <math>x_{\max}</math> уравнения <math>ax^4+2x^2-3ax+a^2=0</math>. Этим условием задаётся некоторая функция <math>f:a\mapsto x_{\max}</math>. Её область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> не пуста, так как, например, при <math>a=0</math> получается уравнение <math>2x^2=0</math>, у которого имеется единственный корень <math>x_{\max}=0</math>, так что <math>f(0)=0</math> и, следовательно, <math>0\in\mathcal{D}(f)</math>. Однако ни выразить значение <math>f(a)</math> формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> функции <math>f</math> не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции <math>f</math> возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений <math>f(a)</math>, которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению <math>a=a_0</math> определять значение <math>x_{\max}=f(a_0)</math> либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что <math>a_0</math> не принадлежит <math>\mathcal{D}(f)</math>.
'''Пример 3:''' Пусть функция <math>f</math>задана формулой
 
Изменяя число <math>a</math> в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения <math>f(a)</math> с заданной наперёд точностью2 и, например, построить график <math>y=f(a)</math> по точкам.
<math>f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\subset\mathbb{R}.</math>
 
Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения.
По умолчанию считается, что области <math>\mathcal{D}(f)</math>принадлежат все те точки <math>x\in\mathbb{R}</math>, что <math>{x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}</math>. Разумеется, для каждой заданной точки <math>x_0</math>проверить это условие несложно, однако описать множество <math>\mathcal{D}(f)</math>в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство.
 
Если числовая функция <math>f(x)</math>, где <math>x\in A\subset\mathbb{R}</math>, реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки <math>x_k\in A</math>, <math>k=1,\dots,N</math>, и нанося на координатную плоскость <math>xOy</math> точки вида <math>(x_k;f(x_k))</math> и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения <math>f(x)</math> через <math>x</math>.
Если <math>\mathcal{D}(f)</math>— это множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, то функция <math>f:\mathbb{N}\to B</math>называется последовательностью. Так как <math>\mathbb{N}</math>содержит бесконечное множество чисел <math>1,2,3,\dots</math>, то задать <math>f</math>в виде таблицы значений <math>y_n=f(n)</math>, где <math>n\in\mathbb{N}</math>, вообще говоря, нельзя. Однако если функция <math>f(n)</math>легко угадывается по своим значениям <math>y_n</math>при небольших <math>n</math>, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.
 
Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции <math>f(x)</math> по заданным <math>x</math>, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента <math>x</math> часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении <math>f</math>, вызванной тремя причинами:
'''Пример 4:''' Пусть <math>y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots</math>. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что <math>f(n)=n^2</math>при любом <math>n\in\mathbb{N}</math>. Эта формула не противоречит выписанным значениям <math>f_1,f_2,f_3</math>и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения <math>f_1,f_2,f_3</math>, но, быть может, другие значения <math>f_4=f(4),f_5=f(5),\dots</math>.
# приближённостью задания переменного <math>x</math> (погрешностью аргумента);
# приближённостью способа получения значения <math>f(x)</math> (погрешностью метода);
# приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений).
 
Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления <math>f(x)</math>. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график <math>y=f(x)</math>, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией <math>f</math>, и по другим косвенным признакам.
'''Пример 5:''' Последовательность чисел Фибоначчи <math>f_n</math>задаётся так: два первых члена полагают равными единице (<math>f_1=1,f_2=1</math> ), а при <math>n\geqslant 3</math>вычисляют <math>f_n</math>по формуле <math>f_n=f_{n-1}+f_{n-2}</math>. Таким образом, <math>f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8</math>и т. д.1
94

правки