Высшая математика. Первый семестр/Функции и их графики: различия между версиями

(лейтех)
 
 
=== График функции ===
Графиком функции <math> f:A\to B</math> называется множество пар <math> (x;y)</math> элементов <math> x\in A</math> и <math> y\in B</math>, такое, что в каждой паре <math> (x;y)</math> второй элемент <math> y</math> — это значение функции <math> f(x)</math>, соответствующее первому элементу пары, то есть <math> x</math>.
 
Рассмотрим множество всевозможных пар <math> (x;y)</math>, где <math> x\in A</math>, <math> y\in B</math>. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества <math> A</math> на множество <math> B</math> и обозначается <math> A\times B</math>.
 
Ясно, что график <math> {\Gamma}_f</math> функции <math> f</math> — это подмножество прямого произведения <math> A\times B</math> :
 
<math>\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\subset A\times B.</math>
 
В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2  — подмножество в <math> \mathbb{R}\times[-1;1]</math> ; график примера 1.3  — подмножество в <math> \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> ; оба графика примера 1.6  — подмножества в <math> \mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2</math> (здесь мы ввели обозначение <math> \mathbb{R}_+=[0;+\infty)</math>, которого будем придерживаться и далее).
 
'''Пример 1:''' Пусть <math> A</math> — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1  — границу круга) на числовой плоскости <math> \mathbb{R}^2</math> с координатами <math> x_1</math> и <math> x_2</math>, с центром в точке <math> O(0;0)</math>. Функцию <math> f</math> в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки <math> (x_1;x_2)</math> до центра. Таким образом, <math> f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math>, где <math> x=(x_1;x_2)\in A\subset R^2</math>.
 
Графиком <math> {\Gamma}_f</math> этой функции является подмножество прямого произведения <math> A\times\mathbb{R}</math>. Это прямое произведение  — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве <math> \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math>. Обозначим координаты точек в <math> \mathbb{R}^3</math> через <math> x_1,x_2,y</math>. Тогда графику <math> {\Gamma}_f</math> принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения <math> y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math> и <math> x_1^2+x_2^2\leqslant 1</math>.
 
Множество <math> G_f</math> представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке <math> (0;0;0)</math>, с высотой 1 и радиусом основания 1.
 
[[Изображение:konus.png|thumb|График расстояния до точки <math> O</math> — это конус]]
 
Как мы видим, в случае, когда <math> A</math> — подмножество плоскости <math> \mathbb{R}^2</math>, график числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> — это подмножество точек пространства <math> \mathbb{R}^3</math>. Если же <math> A</math> — подмножество точек пространства <math> \mathbb{R}^3</math>, то графиком числовой функции <math> f:A\to\mathbb{R}</math> будет подмножество <math> {\Gamma}_f</math> четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества <math> A\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4</math>. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график <math> {\Gamma}_f</math> описать каким-то иным способом.
 
'''Пример 2:''' Пусть <math> A=\mathbb{R}^3</math> и для каждой точки <math> x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3</math> значение функции <math> f</math> в этой точке  — это квадрат расстояния от <math> x</math> до точки <math> O(0;0;0)</math>, то есть <math> f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2</math>. Тогда график <math> {\Gamma}_f</math> — это подмножество в <math> \mathbb{R}^4</math> :
 
<math>\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.</math>
 
Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула <math> y=x_1^2+x_2^2+x_3^2</math> позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью <math> \{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}</math> — это парабола <math> y=x_1^2</math> в плоскости <math> x_1Oy</math>, а сечение трёхмерным пространством <math> \{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}</math> — это одна точка <math> (0;0;0;0)</math>.
 
Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.
 
Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида <math> {y=f(x)}</math>. Способ задания функции <math> f:A\to B</math> зависит от того, какова природа множеств <math> A</math> и <math> B</math> и как по заданному <math> x\in A</math> определяется <math> {y=f(x)\in B}</math>. Выделим основные из этих способов.
 
== Способы описания функций ==
 
=== Табличный ===
Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> конечно и состоит из <math>N</math> элементов <math>x_1,x_2,\dots,x_N</math>, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе <math>x\in A</math>. Часто это делают в виде таблицы:
{| border="1" width="150px"
|<math>x</math> ||<math>x_1</math> ||<math>x_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>x_N</math>
|-
|<math>y</math> ||<math>y_1</math> ||<math>y_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>y_N</math>
|}
 
В верхней строке таблицы перечисляются все <math>N</math>элементов конечного множества <math>A</math>, а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк.
 
=== С помощью формулы ===
Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция <math>f:x\mapsto y</math> может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента <math>x</math> найти соответствующее ему значение <math>y</math>, например:
* <math>f(x)=\arcsin x,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[-1;1];</math>
* <math>f(x)=\sqrt[4]{x},</math>при <math>\mathcal{D}(f)=[0;+\infty);</math>
* <math>f(x)=\ln(1-x),</math>при <math>\mathcal{D}(f)=(-\infty;1);</math>
* <math>f(x)=\ln x_1x_2,</math>при <math>\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\subset\mathbb{R}^2.</math>
 
'''Замечание:''' Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах <math>A</math>, считаются различными. Так, функция <math>f(x)=\arcsin x</math>при <math>x\in[0;1]</math>и функция <math>g(x)=\arcsin x</math>при <math>x\in[-1;1]</math>— это две разные функции, так как функция <math>f</math>устанавливает соответствие между точками множества <math>[0;1]</math>и некоторыми точками числовой прямой, а функция <math>g</math>— между точками другого множества <math>[-1;1]</math>и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как <math>{f(x)=g(x)}</math>при всех <math>{x\in[0;1]}</math>.
 
=== Ограничение функции ===
Если дана функция <math>f:A\to B</math>, и <math>A\subset A</math>, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции <math>f</math>только на элементах <math>x\in A</math>. Эта функция <math>f: A\to B</math>определена равенством <math>f(x)=f(x)</math>при <math>x\in A</math>. Функция <math>f</math>называется ограничением функции <math>f</math>на подмножество <math>A\subset A</math>её области определения <math>A=\mathcal{D}(f)</math>и обозначается <math>f\vert _{A}</math>, то есть <math>f=f\vert _{A}</math>.
 
'''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}</math>— числовая плоскость и функция <math>f</math>задана формулой
 
<math>f(x;y)=x^2+2xy-y^2.</math>
 
Рассмотрим на плоскости <math>A</math>подмножество — прямую линию <math>L</math>, заданную уравнением <math>x+y=1</math>. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции <math>f\vert _L</math>точки только прямой <math>L</math>. Ограничение <math>f\vert _L(x;y)</math>определено только при <math>x+y=1</math>, поэтому его, кроме исходной формулы
 
<math>f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,</math>
 
можно задать такими формулами:
 
<math>f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1</math>(1.1)
 
(так как <math>y=1-x</math>на прямой <math>L</math> ), или
 
<math>f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1</math>(1.2)
 
(так как <math>x=1-y</math>на прямой <math>L</math> ). Во всех точках <math>(x;y)</math>прямой <math>L</math>все три формулы дают одно и то же значение функции <math>f\vert _L</math>. Мы видим, что формула (1.1) даёт для <math>f\vert _L</math>те же значения, что функция одного переменного <math>x</math> : <math>f_1(x)=-2x^2+4x-1</math>, а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного <math>y</math> : <math>f_2(y)=-2y^2+1</math>.
 
Две последние функции называются параметризациями ограничения <math>f\vert _L</math>.
 
'''Пример 2:''' Пусть <math>f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2</math>— функция, заданная во всех точках плоскости <math>\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}</math>. Пусть <math>A=l</math>— прямая <math>x_2=1</math>на плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>. Тогда функция <math>f(x)=f\vert _l(x)</math>равна <math>x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2</math>. Формально ограничение зависит от точек <math>(x_1,x_2)</math>плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, но только таких, что <math>x_2=1</math>. Поэтому задание этого ограничения <math>f(x_1,x_2)</math>эквивалентно заданию числовой функции одного переменного <math>g(x_1)=x_1^2+2x_1+2</math>. Функция <math>g</math>— это одна из возможных параметризаций функции <math>f\vert _l</math>.
 
'''Замечание:''' Во многих учебных примерах при задании функции <math>f</math>при помощи формулы не указывают область определения <math>\mathcal{D}(f)</math>. При этом по умолчанию предполагается, что область определения <math>\mathcal{D}(f)</math>— максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента <math>x</math>, для которых задающее функцию <math>f</math>выражение <math>f(x)</math>имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область <math>\mathcal{D}(f)</math>, если в этом возникнет необходимость.
 
'''Пример 3:''' Пусть функция <math>f</math>задана формулой
 
<math>f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\subset\mathbb{R}.</math>
 
По умолчанию считается, что области <math>\mathcal{D}(f)</math>принадлежат все те точки <math>x\in\mathbb{R}</math>, что <math>{x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}</math>. Разумеется, для каждой заданной точки <math>x_0</math>проверить это условие несложно, однако описать множество <math>\mathcal{D}(f)</math>в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство.
 
Если <math>\mathcal{D}(f)</math>— это множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, то функция <math>f:\mathbb{N}\to B</math>называется последовательностью. Так как <math>\mathbb{N}</math>содержит бесконечное множество чисел <math>1,2,3,\dots</math>, то задать <math>f</math>в виде таблицы значений <math>y_n=f(n)</math>, где <math>n\in\mathbb{N}</math>, вообще говоря, нельзя. Однако если функция <math>f(n)</math>легко угадывается по своим значениям <math>y_n</math>при небольших <math>n</math>, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.
 
'''Пример 4:''' Пусть <math>y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots</math>. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что <math>f(n)=n^2</math>при любом <math>n\in\mathbb{N}</math>. Эта формула не противоречит выписанным значениям <math>f_1,f_2,f_3</math>и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения <math>f_1,f_2,f_3</math>, но, быть может, другие значения <math>f_4=f(4),f_5=f(5),\dots</math>.
 
'''Пример 5:''' Последовательность чисел Фибоначчи <math>f_n</math>задаётся так: два первых члена полагают равными единице (<math>f_1=1,f_2=1</math> ), а при <math>n\geqslant 3</math>вычисляют <math>f_n</math>по формуле <math>f_n=f_{n-1}+f_{n-2}</math>. Таким образом, <math>f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8</math>и т. д.1
94

правки