При такой записи 4-потенциал разделяется на '''''«скалярный потенциал»''''' <math>\varphi</math> и '''''«векторный потенциал»''''' поля <math>\overrightarrow{A}</math>. Заметим из {{ОТФ|ссылка=2.4.2|страница=Четырехмерный_потенциал_поляЧетырёхмерный_потенциал_поля}} , что скалярный и векторный потенциалы могут быть функциями от трехмерных координат и от времени.
Заметим также, что входящая в {{ОТФ|ссылка=2.4.2|страница=Четырехмерный_потенциал_поляЧетырёхмерный_потенциал_поля}} функция <math>f(\overrightarrow{r},t)</math> - не определена однозначно, то есть на компоненты 4-потенциала {{ОТФ|ссылка=2.4.3|страница=Четырехмерный_потенциал_поляЧетырёхмерный_потенциал_поля}} можно накладывать некоторые дополнительные условия. Например, к функции <math>f(\overrightarrow{r},t)</math> можно прибавить произвольную функцию от координат <math>k(\overrightarrow{r})</math>, это будет эквивалентно прибавлению к векторному потенциалу градиента <math>\triangledown k(\overrightarrow{r})</math>.
Найдем действие для свободной заряженной частицы в электромагнитном поле. Вклад поля в действие должен быть пропорционален энергии, значит получаем:
{{ОТФ|формула=2.4.4}}
В формуле {{ОТФ|ссылка=2.4.4|страница=Четырехмерный_потенциал_поляЧетырёхмерный_потенциал_поля}} действие S<sub>mf</sub> – это действие, обусловленное наличием энергии взаимодействия электромагнитного поля с зарядом частицы. Поскольку 4-потенциал поля можно определить с точностью до произвольного коэффициента пропорциональности, то определим этот коэффициент так, как его принято определять по историческим причинам: <math>-\frac{1}{c}</math>. В таком случае полное действие запишется формулой:
{{ОТФ|формула=2.4.5}}
Через скалярный и векторный потенциалы формула {{ОТФ|ссылка=2.4.5|страница=Четырехмерный_потенциал_поляЧетырёхмерный_потенциал_поля}} может быть записана в трехмерном виде:
{{ОТФ|формула=2.4.6}}
Поскольку действие определено как интеграл от функции Лагранжа, то переходя в {{ОТФ|ссылка=2.4.6|страница=Четырехмерный_потенциал_поляЧетырёхмерный_потенциал_поля}} к интегрированию по времени, получим:
{{ОТФ|формула=2.4.7}}
Формула {{ОТФ|ссылка=2.4.7|страница=Четырехмерный_потенциал_поляЧетырёхмерный_потенциал_поля}} определяет функцию Лагранжа свободной заряженной релятивистской частицы в электромагнитном поле.
