Основы теоретической физики/Определение потенциальной энергии по периоду колебаний: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Annnk (обсуждение | вклад) |
Annnk (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1:
== 1.4.2. Определение потенциальной энергии по периоду колебаний ==
На практике, полную энергию и период колебаний одномерной системы, можно определить экспериментально. Рассмотрим, как можно получить вид потенциальной энергии U(x), если известна зависимость T(E). Математически, сформулированная задача сводится к решению интегрального уравнения (1.138), в котором известна левая часть.
Будем решать поставленную задачу для потенциальной ямы с одним минимумом. Выберем систему координат так, чтобы минимум был в нуле.
Решать интегральное уравнение {{ОТФ|ссылка=1.4.7|страница=Одномерное_движение}} будем в несколько этапов. Вначале нужно преобразовать интеграл {{ОТФ|ссылка=1.4.7|страница=Одномерное_движение}} так, чтобы координата «x» была функцией от потенциальной энергии x(U):
{{ОТФ|формула=1.4.8}}
То есть мы будем искать не U(x), а обратную к этой зависимости функцию x(U). При таком преобразовании нужно заметить, что функция x(U) – двузначная. То есть при каждом значении <math>U\neq 0</math>, величина x(U) – принимает два значения. Поэтому нужно рассматривать два интеграла по областям, где функция x(U) непрерывна и однозначна.
Найдем интеграл {{ОТФ|ссылка=1.4.7|страница=Одномерное_движение}} как сумму площадей области A0x1 и области B0x2. Это области под кривыми <math>x_1(U)</math> и <math>x_2(U)</math>.
{{ОТФ|формула=1.4.9}}
В интегралах {{ОТФ|ссылка=1.4.9|страница=Определение_потенциальной_энергии_по_периоду_колебаний}} нас будут интересовать пределы не координат, а энергии:
{{ОТФ|формула=1.4.10}}
Умножим обе части выражения {{ОТФ|ссылка=1.4.10|страница=Определение_потенциальной_энергии_по_периоду_колебаний}} на <math>\frac{dE}{\sqrt{\alpha -E}}</math> и проинтегрируем все по энергии:
{{ОТФ|формула=1.4.11}}
Правая часть выражения {{ОТФ|ссылка=1.4.11|страница=Определение_потенциальной_энергии_по_периоду_колебаний}} может быть вычислена если поменять порядок интегрирования (пределы интегрирования при этом тоже поменяются):
{{ОТФ|формула=1.4.12}}
Подставляя {{ОТФ|ссылка=1.4.12|страница=Определение_потенциальной_энергии_по_периоду_колебаний}} в {{ОТФ|ссылка=1.4.11|страница=Определение_потенциальной_энергии_по_периоду_колебаний}} , получим:
{{ОТФ|формула=1.4.13}}
Если теперь переобозначить <math>\alpha\rightarrow U</math>, то из {{ОТФ|ссылка=1.4.13|страница=Определение_потенциальной_энергии_по_периоду_колебаний}} получим формулу для вычисления разности <math>x_2(U)-x_1(U)</math>:
{{ОТФ|формула=1.4.14}}
То есть по известной функции для периода T(E), можно определить разность <math>x_2(U)-x_1(U)</math>. Однако эта разность не позволяет узнать однозначный вид функции x(U). Другими словами, из полученного решения следует, что существует не одна, а бесконечное множество кривых потенциальных энергий U(x), приводящих к заданной функции периода T(E).
Неоднозначность в решении {{ОТФ|ссылка=1.4.14|страница=Определение_потенциальной_энергии_по_периоду_колебаний}} исчезает, если потребовать симметричности функции U(x) относительно оси «y». В этом частном случае получается:
{{ОТФ|формула=1.4.15}}
Как видно, формула {{ОТФ|ссылка=1.4.15|страница=Определение_потенциальной_энергии_по_периоду_колебаний}} дает однозначную функцию зависимости траектории от потенциальной энергии если известна зависимость периода от энергии. Зависимость потенциальной энергии от координаты также будет определяться однозначно как функция, обратная к x(U).
== См. также ==
| |||