Основы теоретической физики/Закон сохранения момента импульса: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Метка: отменено
м Undid edits by Annnk (talk) to last version by KKorzov
Метки: замена отмена отменено SWViewer [1.4]
Строка 1:
== 1.2.4. Закон сохранения момента импульса ==
 
Текст раздела.
Еще один закон сохранения, является следствием изотропии пространства. Изотропия означает, что свойства механических систем не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. Чтобы вывести этот закон, нужно рассмотреть бесконечно малый поворот системы и потребовать, чтобы функция Лагранжа при таком преобразовании оставалась постоянной.
[[File:Основы теоретической физики.jpg|center|600px|thumb|Основы теоретической физики]]
 
Рассмотрим материальную точку с радиус-вектором <math>\overrightarrow{r}</math> которая повернулась вокруг оси «z» на бесконечно малый угол <math>d\varphi</math>. При таком повороте расстояние точки до оси «z» не изменяется, это расстояние равно <math>AC=BC=\mid\overrightarrow{r}\text{ }\mid\sin\theta</math>. Линейное перемещение точки в пространстве можно тогда найти как половину основания в равнобедренном треугольнике '''ABC''' по формуле:
<bigg>{{ОТФ|формула=1.2.21}}</bigg>
 
Пусть <math>d\overrightarrow{\varphi}</math> - вектор, модуль которого равен углу поворота <math>d\varphi</math>, а направление совпадает с осью поворота «z» по правилу винта. Тогда выражение {{ОТФ|ссылка=1.2.21}} можно переписать как векторное произведение:
{{ОТФ|формула=1.2.22}}
 
При повороте меняется не только радиус-вектор, но и направление скорости материальной точки. Повторив для скорости те же рассуждения, которые мы сделали для радиус-вектора, получим аналогичное {{ОТФ|ссылка=1.2.22}} выражение:
{{ОТФ|формула=1.2.23}}
 
Для изотропного пространства функция Лагранжа не должна меняться при повороте, значит ее полный дифференциал равен нулю:
{{ОТФ|формула=1.2.24}}
 
Воспользуемся определением импульса &nbsp;{{ОТФ|ссылка=1.2.19|страница=Закон_сохранения_импульса}}&nbsp;, а также выражениями {{ОТФ|ссылка=1.2.22}} и {{ОТФ|ссылка=1.2.23}}, подставив все в {{ОТФ|ссылка=1.2.24}} получим:
<big>{{ОТФ|формула=1.2.25}}</big>
 
Для смешанного произведения векторов можно делать произвольную циклическую перестановку, поэтому {{ОТФ|ссылка=1.2.25}} можно преобразовать:
{{ОТФ|формула=1.2.26}}
 
Интегрируя {{ОТФ|ссылка=1.2.26}}, получим постоянную интегрирования – интеграл движения, который называется «моментом импульса»:
{{ОТФ|формула=1.2.27}}
 
Из формулы {{ОТФ|ссылка=1.2.27}} сразу следует свойство аддитивности момента импульса, поскольку полный момент получается суммированием моментов всех частей системы.
 
Таким образом мы выяснили, что в замкнутой системе могут существовать всего семь аддитивных интегралов движения: энергия, вектор импульса и вектор момента импульса. Эти величины сохраняются при любом движении системы и связаны со свойствами однородности и изотропности пространства и однородностью времени.
 
== См. также ==
[[Основы_теоретической_физики/Закон_сохранения_импульса|<<Назад]]&nbsp;&nbsp;|&nbsp;&nbsp;[[Основы_теоретической_физики/Законы_преобразования_энергии_и_импульса|Далее>>]]<br>
[[Основы теоретической физики|Оглавление]]