Основы теоретической физики/Закон сохранения момента импульса: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Annnk (обсуждение | вклад) Нет описания правки Метка: отменено |
Annnk (обсуждение | вклад) Метка: отменено |
||
Строка 3:
Еще один закон сохранения, является следствием изотропии пространства. Изотропия означает, что свойства механических систем не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. Чтобы вывести этот закон, нужно рассмотреть бесконечно малый поворот системы и потребовать, чтобы функция Лагранжа при таком преобразовании оставалась постоянной.
[[File:Основы теоретической физики.jpg|center|600px|thumb|Основы теоретической физики]]
Рассмотрим материальную точку с радиус-вектором <math>\overrightarrow{r}</math> которая повернулась вокруг оси «z» на бесконечно малый угол <math>d\phi</math>. При таком повороте расстояние точки до оси «z» не изменяется, это расстояние равно <math>AC=BC=\mid\overrightarrow{r}\text{ }\mid\sin\theta</math>. Линейное перемещение точки в пространстве можно тогда найти как половину основания в равнобедренном треугольнике '''ABC''' по формуле:
{{ОТФ|формула=1.2.21}}
Пусть <math>d\overrightarrow{\phi}</math> - вектор, модуль которого равен углу поворота <math>d\phi</math>, а направление совпадает с осью поворота «z» по правилу винта. Тогда выражение {{ОТФ|ссылка=1.2.21}} можно переписать как векторное произведение:
{{ОТФ|формула=1.2.22}}
При повороте меняется не только радиус-вектор, но и направление скорости материальной точки. Повторив для скорости те же рассуждения, которые мы сделали для радиус-вектора, получим аналогичное {{ОТФ|ссылка=1.2.22}} выражение:
{{ОТФ|формула=1.2.23}}
Для изотропного пространства функция Лагранжа не должна меняться при повороте, значит ее полный дифференциал равен нулю:
{{ОТФ|формула=1.2.24}}
Воспользуемся определением импульса {{ОТФ|ссылка=1.2.19}}, а также выражениями {{ОТФ|ссылка=1.2.22}} и {{ОТФ|ссылка=1.2.23}}, подставив все в {{ОТФ|ссылка=1.2.24}} получим:
{{ОТФ|формула=1.2.25}}
Для смешанного произведения векторов можно делать произвольную циклическую перестановку, поэтому {{ОТФ|ссылка=1.2.25}} можно преобразовать:
{{ОТФ|формула=1.2.26}}
Интегрируя {{ОТФ|ссылка=1.2.26}}, получим постоянную интегрирования – интеграл движения, который называется «моментом импульса»:
{{ОТФ|формула=1.2.27}}
Из формулы {{ОТФ|ссылка=1.2.27}} сразу следует свойство аддитивности момента импульса, поскольку полный момент получается суммированием моментов всех частей системы.
Таким образом мы выяснили, что в замкнутой системе могут существовать всего семь аддитивных интегралов движения: энергия, вектор импульса и вектор момента импульса. Эти величины сохраняются при любом движении системы и связаны со свойствами однородности и изотропности пространства и однородностью времени.
== См. также ==
| |||