Решения задач из книги "Искусство схемотехники" Хоровиц, Хилл, 3-е издание.: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Hronrad (обсуждение | вклад) |
Hronrad (обсуждение | вклад) |
||
Строка 77:
==== Условие ====
Prove the formulas for series and parallel resistors.
Докажите формулы для сопротивления последовательного и параллельного соединения резисторов.
==== Решение ====
а) Последовательное соединение (см. рисунок ниже).
[[Файл:1.1 а.png|Последовательное соединение резисторов|461px]]
Пусть к данному участку цепи приложено общее напряжение <math>U</math>. Обозначим общее сопротивление этого участка <math>R</math>.
==== Ответ ====▼
Тогда, по закону Ома (1.2), ток, протекающий через этот участок будет равен:
<math>I = \frac{U}{R}</math>
В соответствии с первым законом Кирхгофа (стр. 2(10)), ток <math>I_1</math>, втекающий в узел между резисторами, равен току <math>I_2</math>, вытекающему из этого узла. Поэтому, токи протекающие в каждом из резисторов <math>R_1</math> и <math>R_2</math> равны между собой и равны общему току в цепи:
<math>I_1 = I_2 = I</math>
По закону Ома (1.2), напряжения на резисторах <math>R_1</math> и <math>R_2</math> равны, соответственно:
<math>U_1 = I_1R_1 = IR_1</math>, <math>U_2 = I_2R_2 = IR_2</math>
По второму закону Кирхгофа (стр. 2(10)), сумма напряжений на каждом из резисторов равна общему приложенному к участку цепи напряжению. Таким образом, имеем:
<math>U = U_1 + U_2</math>
<math>IR = IR_1 + IR_2</math>
Сокращая в последнем выражении на <math>I</math>, получаем:
<math>R = R_1 + R_2</math>,
что и требовалось доказать.
б) Параллельное соединение (см. рисунок ниже).
[[File:1.1 b.png|Параллельное соединение резисторов|461px]]
Пусть к данному участку цепи приложено общее напряжение <math>U</math>. Обозначим общее сопротивление этого участка <math>R</math>. Тогда, по закону Ома (1.2), ток, протекающий через этот участок будет равен:
<math>I = \frac{U}{R}</math>
В соответствии со вторым законом Кирхгофа (стр. 2(10)), напряжение на каждом из резисторов одинаково:
<math>U_1 = U_2 = U_3</math>
Тогда, по закону Ома (1.2), токи, протекающие через резисторы <math>R_1</math> и <math>R_2</math> равны, соответственно:
<math>I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{U}{R_1}</math>, <math>I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{U}{R_2}</math>
Используя первый закон Кирхгофа (стр. 2(10)), можно сделать вывод о том, что общий ток в такой цепи будет равен сумме токов в каждом из резисторов:
<math>I = I_1 + I_2</math>
поскольку ток <math>I</math> втекает в узел перед разветвлением, а токи <math>I_1</math> и <math>I_1</math> вытекают из него. Таким образом, из последнего уравнения имеем:
<math>\frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}</math>
Сокращая в последнем выражении на <math>U</math>, получаем:
<math>\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}</math>
Получили стандартную формулу для сопротивления двух параллельно соединенных резисторов. Теперь, если привести дроби к общему знаменателю в правой части и выразить <math>R</math>, можно получить второй вариант формулы:
<math>R = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}</math>
что и требовалось доказать.
▲==== Ответ ====
Доказаны формулы для сопротивлений двух последовательно (1.3) и параллельно (1.4) соединенных резисторов.
{{Готовность |0%}}
| |||