Помехоустойчивое кодирование: различия между версиями

 
:<math>
\mathbf{A}_{Hem(7,4)}=\begin{array}{||cccc||Vmatrix}
1&1&0&1\\ 1&0&1&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&1&1\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{arrayVmatrix}</math>
 
Процесс выявления ошибок тоже линейная операция, она
бит в которых произошла ошибка, как векторов в <math>G\mathbb{F}(2)^3</math>.
 
:<math>\mathbf{H}_{Hem(7,4)}=\begin{array}{||ccccccc||}
\begin{Vmatrix}
1&0&1&0&1&0&1\\ 0&1&1&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&1&1
\end{arrayVmatrix}</math>
 
Заметим, что столбцы проверочной матрицы представляют собой
 
Вычиcление рабочей матрицы для циклических кодов
основывается на значениях <math>G_n(x)=x^n\; \mathop{mod}\; G(x)</math>. Верхняя
её часть равна единичной, так <i>m</i> бит сообщения помещаются
без изменения в начало слова, а нижние <i>r</i> строчек есть <i>m</i>
 
:<math>
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|vmatrix}
G_0&G_1&G_2&G_3&G_4&G_5&G_6&G_7\\
\hline
1&x^1&x^2&x+1&x^2+x&x^2+x+1&x^2+1&1\\
\hline
001&010&100&011&110&111&101&001
\end{arrayvmatrix}
</math>
 
G_5 G_4 G_3
\end{array}\right\| , \quad \mathbf{H}=\|G_6G_5G_4G_3E_3\|,</math>
то есть
 
:<math>
\mathbf{A}=\begin{array}{||cccc||Vmatrix}
1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&1&1&0\\
0&1&1&1\\1&1&0&1
\end{arrayVmatrix},
\;\;\;
\mathbf{H}=\begin{array}{||ccccccc||Vmatrix}
1&1&1&0&1&0&0\\ 0&1&1&1&0&1&0\\1&1&0&1&0&0&1
\end{arrayVmatrix}.
</math>
 
всегда удовлетворяют отношениям
 
:<math>\mathbf{H}\cdot \mathbf{A}=\mathbf{0}_{rm},\; \mathbf{H}\cdot \mathbf{G}=\mathbf{0}_{rm},</math>
где
\mathbf{H}\cdot \mathbf{G}=\mathbf{0}_{rm},</math>
<math>\mathbf{0}_{rm}</math> — нулевая матрица <math>r\times m</math>.\\ Любая
где
 
<math>\mathbf{0}_{rm}</math> — нулевая матрица <math>r\times m</math>.\\ Любая
Любая порождающая матрица может использоваться как
рабочая.
 
Декодирующая матрица <math>\mathbf{D}</math> должна декодировать:
 
:<math>
\mathbf{D}_{H_{7,4}}=\begin{array}{||ccccccc||} 0&0&1&0&0&0&0\\
\begin{Vmatrix}
0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1
0&0&1&0&0&0&0\\
\end{array},
0&0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&1
\end{arrayVmatrix},
\;\;\;
\mathbf{D}_{C_{7,4}}=\begin{arrayVmatrix}{||ccccccc||} 1&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0
0&1&0&0&0&0&0\\
\end{array}.
0&0&1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0
\end{arrayVmatrix}.
</math>
 
 
<div class="task"><b>Задача 8.</b>
 
Для данной проверочной матрицы постройте рабочую и декодирующую
матрицу. Докажите, что кодовое расстояние равно 4.
 
:<math>\mathbf{H}=\begin{array}{||cccccccc||Vmatrix}
1&0&1&0&1&0&1&0\\
0&1&1&0&0&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&1&0\\1&1&1&1&1&1&1&1
0&0&0&1&1&1&1&0\\
\end{array}</math>
1&1&1&1&1&1&1&1
\end{arrayVmatrix}</math>
 
''Подсказка ''\\
1)# Это проверочная матрица <math>Hem(7,4)</math> плюс условие на чётность числа единичек в закодированном слове вместе с дополнительным восьмым контрольным битом.
2)# Кодовое расстояние равно минимальному количеству линейно зависимых столбцов в <math>\mathbf{H}</math>.
числа единичек в закодированном слове вместе с дополнительным
восьмым контрольным битом.\\
2) Кодовое расстояние равно минимальному количеству линейно
зависимых столбцов в <math>\mathbf{H}</math>.
 
<b>Конец задачи.</b></div>
 
:<math>\mathbf{A}=
\begin{array}{||cccc||Vmatrix}
0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&1\\0&1&1&0\\1&1&0&0\\1&0&0&0
\end{arrayVmatrix}.</math>
 
<b>Конец задачи.</b></div>
481

правка