Интегральное исчисление/Краткие сведения о комплексных числах: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
KleverI (обсуждение | вклад) |
м Бот: замена устаревшего математического синтаксиса в соответствии с mw:Extension:Math/Roadmap |
||
Строка 5:
__TOC__
'''Комплексные числа''' — это [[w:Расширение поля|расширение поля]] [[w:Вещественное число|действительных чисел]]. Обозначается <math>\
Формально, комплексное число <math>z</math> — это [[w:Упорядоченная пара|упорядоченная пара]] вещественных чисел <math>(x,\;y)</math> с введёнными на них операциями сложения и умножения вида:
Строка 157:
* {{Якорь|ФормулаД2.54}}{{Формула|<math>\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^\alpha=\frac{z_1^\alpha}{z_2^\alpha}.\quad(z_2\neq 0)</math>|Д2.54}}
* {{Якорь|ФормулаД2.55}}{{Формула|<math>z^1=z,\quad z^0=1,\quad z^{-1}=\frac{1}{z}.\quad(z\neq 0)</math>|Д2.55}}
Здесь в общем случае <math>\alpha,\;\beta\in\
'''Замечание.''' Как будет показано [[#Показательная и логарифмическая функция комплексного аргумента|ниже]], при возведении в комплексную степень некоторые формулы ([[#ФормулаД2.45|Д2.45]])—([[#ФормулаД2.55|Д2.55]]) могут не выполняться в общем виде.
Строка 265:
{{Формула|<math>=\sqrt{\underline{x_1^2x_2^2}+\underline{\underline{y_1^2y_2^2}}+\underline{x_1^2y_2^2}+\underline{\underline{x_2^2y_1^2}}}=\sqrt{x_1^2(x_2^2+y_2^2)+y_1^2(x_2^2+y_2^2)}=\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}.</math>|Д2.85}}
Сравнивая ([[#ФормулаД2.84|Д2.84]]) и ([[#ФормулаД2.85|Д2.85]]), убеждаемся в выполнении '''[[#СвойствоД2.11|свойства Д2.11]]'''. Что и требовалось доказать.}}
В частности, верно равенство <math>|a\cdot z|=|a|\cdot|z|</math>, где <math>a\in\R</math>, <math>z\in\
По [[w:Математическая индукция|индукции]] можно доказать более общее равенство:
| |||