|
Примером «рафинированной» непозиционной системы счисления является [[Римская система счисления|римская система]].
== Позиционные системы счисления ==
=== Введение ===
Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе.<br />
Например, число 01 обозначает единицу, 10 — десять.
Позиционные системы счисления позволяют легко производить арифметические расчёты.
Представление чисел с помощью арабских цифр — самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Заметьте: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).
Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления, содержащую только две цифры, 0 и 1. Обратите внимание, что в двоичной системе максимальная цифра 1.
Программисты для вычислений также пользуются ещё восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.
Количество цифр, используемых в системе счисления, называется её «основанием».
В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе — двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной — соответственно, восьми и шестнадцати.
То есть в ручной системе счисления количество цифр равно р и используются цифры от 0 до р-1.
В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом: <math>a_{n-1} ...a_1a_{0f}</math>, где <math>a_0, a_1, ..., a_{n-1}</math> — цифры, а <math>f</math> — основание системы счисления. Если используется десятичная система, то <math>f</math> — можно опустить.
Примеры чисел:
* <math>25_{10}</math> — число в [[w:Десятичная система счисления|десятичной системе счисления]], <math>a_0=5, a_1=2</math>;
* <math>31_8</math> — это же число в [[w:Восьмеричная система счисления|восьмеричной системе счисления]], <math>a_0=1, a_1=3</math>;
* <math>221_3</math> — это же число в несимметричной [[w:Троичная система счисления|троичной системе счисления]], <math>a_0=1, a_1=2, a_2=2</math>;
* <math>11001_2</math> — это же число в [[w:Двоичная система счисления|двоичной системе счисления]], <math>a_0=1, a_1=0, a_2=0, a_3=1, a_4=1</math>;
=== Зависимость плотности записи информации от основания системы счисления ===
Удельная натурально логарифмическая плотность записи числа зависит от основания системы счисления х и выражается функцией y=ln(x)/x. Эта функция имеет максимум при x=e=2,718281828….
То есть система счисления с наибольшей плотностью записи имеет '''не целочисленное''' основание.
Из '''целочисленных''' систем счисления наибольшей плотностью записи информации обладает троичная система счисления, то есть система с основанием равным трём.
Эту задачу решали ещё во времена Не пера, в результате для уменьшения таблиц и числа вычислений перешли к таблицам натуральных логарифмов с основанием равным числу Эйлера е=2,718281828… .
=== Преобразование чисел ===
Такое представление чисел обозначает вот такое число: <math>a_{n-1} f^{n-1} + ... + a_1 f^1 + a_0 f^0</math>, где <math>a_0, a_1, ..., a_{n-1}</math> — цифры, а <math>f</math> — основание системы счисления.
=== Шестидесятеричная система счисления ===
== Двоичная система счисления ==
| 