Теоретические задачи с XXXV международной физической олимпиады в Корее: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Karagota (обсуждение | вклад) |
Karagota (обсуждение | вклад) |
||
Строка 33:
силой <math>F_p = q_u E_d </math>. Заряды пластин <math>q_u = - q_d = CV</math>, где <math>C =\frac{\varepsilon _0 S}{d} = \frac{\varepsilon _0 \pi R^2}{d}</math> - ёмкость
конденсатора, образованного этими пластинами. Сила взаимодействия между
пластинами
{{Рамка}} <math>F_p = \frac{\varepsilon _0 \pi R^2V^2}{2d^2}</math>. {{Акмар}}
'''(b)''' Заряд участка поверхности нижней пластины, на котором находится диск, полностью переходит на диск. Диск приобретает заряд <math>q = q_d \frac{{r^2}}{{R^2}} = - \frac{{\varepsilon _0 \pi R^2}}{d}V\frac{{r^2}}{{R^2}} = - \frac{{\varepsilon _0 \pi r^2 }}{d}V</math>.
{{Рамка}}
<math>\chi = - \frac{{\varepsilon _0 \pi r^2}}{d}</math>.
{{Акмар}}
'''(c)''' Диск оторвётся от нижней пластины, если действующая на него со стороны электростатического поля сила превзойдет силу тяжести. Электростатическое поле будет действовать на диск с силой
<math>F_e = \left| q \right|E_u = \left| \chi \right|V\frac{V}{{2d}}= \left| \chi \right|\frac{{V^2}}{{2d}}</math>. При пороговом значении приложенного напряжения
<math>F_e = \left| \chi \right|\frac{{V_{th}^2 }}{{2d}} = mg</math>.
Пороговое значение напряжения
{{Рамка}} <math>V_{th}= \sqrt {\frac{{2mgd}}{{\left| \chi \right|}}}</math>. {{Акмар}}
'''(d)''' После столкновения с нижней пластиной в установившемся режиме диск приобретает скорость v<SUB>s</SUB> и заряд q. Перед ударом о верхнюю пластину его скорость <math>v_{before}^{up}</math>
Строка 52 ⟶ 59 :
Используя приведённые соотношения, выражаем <math>v_s = \sqrt{\frac{{2\left|\chi\right|}}{m}\cdot\frac{{\eta ^2}}{{1-\eta ^2}}\cdot V^2 + 2gd\cdot\frac{{\eta ^2}}{{1 + \eta ^2}}}</math>.
{{Рамка}}
<math>\alpha = \frac{{2\left|\chi\right|}}{m}\cdot\frac{{\eta ^2}}{{1 - \eta ^2}};\beta = 2gd \cdot \frac{{\eta ^2}}{{1 + \eta ^2}}</math>.
{{Акмар}}
Строка 58 ⟶ 67 :
Среднюю силу тока <math>I = \frac{{2\left| q \right|}}{{t_{up} + t_{down}}} = \frac{{\left| q \right|}}{d}\left( {\frac{1}{{v_s + v_{before}^{up}}} + \frac{1}{{v_{after}^{up} + v_{down}^{before} }}} \right)^{ - 1}</math> найдём, используя выражения для <math>v_{before}^{up}</math> ;<math>v_{after}^{up}</math> ;<math>v_{before}^{down}</math> из части (d). Учитывая, что <math>\left| q \right| V >> mgd</math>,
<math>I = V^2 \sqrt{\frac{1 + \eta}{\left({1 - \eta}\right)}\cdot \frac{\left|\chi\right|^3}{2md^2}}
</math>. {{Рамка}} <math>\gamma = \sqrt {\frac{{\left( {1 + \eta }\right)}}{{\left( {1 - \eta }\right)}}\cdot\frac{{\left| \chi \right|^3}}{{2md^2}}}</math>. {{Акмар}}
'''(f)''' Ток перестаёт течь, если кинетической энергии диска после удара о нижнюю пластину оказывается недостаточно, чтобы долететь до верхней пластины:
<math>\frac{{mv_s^2}}{2}< mgd - \left|q\right|V</math>. Используя выражение для V<SUB>s</SUB>, получим условие, которому должно удовлетворять V, чтобы ток прекратился:
<math>V < \sqrt {\frac{{1 - \eta ^2 }}{{1 + \eta ^2 }}\cdot\frac{{mgd}}{{\left|\chi\right|}}}</math>. Критическое значение напряжения
{{Рамка}}
<math>V_c = \sqrt{\frac{{1 - \eta ^2}}{{1 + \eta ^2}}\cdot\frac{{mgd}}{{\left|\chi\right|}}}<V_{th}</math>! При таком напряжении скорость диска при подлёте к верхней пластине обращается в нуль. Тогда время движения вверх <math>t_{up}= \frac{{2d}}{{v_s}}</math>, время движения вниз ▼
<math>V_c = \sqrt{\frac{{1 - \eta ^2}}{{1 + \eta ^2}}\cdot\frac{{mgd}}{{\left|\chi\right|}}}<V_{th}</math>
{{Акмар}}
▲
<math>t_{down} = \frac{2d}{ \left({v_s}/{\eta}\right) } = \frac{{2\eta d}}{v_s}</math>.
Строка 71 ⟶ 87 :
С учётом выражения для V<SUB>c</SUB> ,
{{Рамка}} <math>I_c = \frac{{2\eta g}}{{\left({1 + \eta}\right)\left({1 + \eta ^2}\right)}}\sqrt {\left|\chi\right|m\left({1 - \eta ^2}\right)}</math>. {{Акмар}}
График зависимости I от V при увеличении и уменьшении V будет иметь следующий вид:
| |||