Теоретические задачи с XXXV международной физической олимпиады в Корее: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Karagota (обсуждение | вклад) |
Karagota (обсуждение | вклад) |
||
Строка 248:
'''(a)'''
<math>z(t)=A\sin\left({\omega t - \varphi}\right)</math>
Строка 257:
<math>\sin \left( {\omega t - \varphi } \right) = \sin \omega t \cdot \cos \varphi - \cos \omega t \cdot \sin \varphi ;\cos \left( {\omega t - \varphi } \right) = \cos \omega t \cdot \cos \varphi + \sin \omega t \cdot \sin \varphi</math>
<math>\begin{
\end{
Т.к. <math>k = m\omega _0^2</math>, то <math>tg\varphi = \frac{{b\omega }}{{m\left( {\omega _0^2 - \omega ^2 } \right)}}</math>
При <math>\omega= \omega _0</math> : <math>\varphi= \frac{\pi}{2}</math>
'''(b)'''
Постоянная составляющая сигнала будет отлична от нуля только при <math>\omega = \omega _i</math>
Строка 282:
'''(c)''' Используем результаты, полученные в пункте (a) для A и <math>\varphi </math>
Учтём также, что <math>F = c_1 V'{\kern 1pt} _R = c_1 V_{R0} \sin \left( {\omega {\kern 1pt} t + \frac{\pi }{2}} \right)</math>. Получим выражение для <math>V_i (t)</math>:
<math>V_i = c_2 z = c_2 A\sin \left( {wt + \frac{\pi }{2} - \varphi } \right) = c_2 \frac{{F_0 }}{b\omega _0 }}\sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{c_2 c_1 V_R0} }}{{b\omega _0 }}\sin \omega t</math>
Откуда <math>V_{i0} = \frac{{c_1 c_2 V_{R0} }}{{b\omega _0 }}</math>
<math>\frac{{c_1 c_2 }}{2}\frac{{V_{R0}^2 }}{{b\omega _0 }}</math>.
Строка 295:
Резонансная частота <math>\omega _0 = \sqrt {\frac{k}{m}} </math>. При малом изменении массы датчика на
<math>\Delta m</math>
<math>\begin{
<math>\Delta m = \frac{{b\Delta \varphi }}{{\omega _0 }} = \left( {\frac{b}{m}} \right)\left( {\frac{m}{{\sqrt {{k \mathord{\left/ {\vphantom {k m}} \right.\kern-\nulldelimiterspace} m}} }}} \right)\Delta \varphi \approx 1.75 \cdot 10^{ - 18}</math>.
'''(e)'''
<math>f\left( h \right) \approx f\left( {h_0 } \right) + c_3 \left( {h - h_0 } \right) = f\left( {h_0 } \right) + c_3 z</math>.
Строка 312:
Появление постоянной силы <math>f(h_0)</math> приводит только к смещению положения равновесия.
А слагаемое <math>c_3 z</math> можно учесть, введя новый коэффициент упругости <math>k' = \left( {k - c_3 } \right)</math>.
Строка 318:
<math>\Delta f = - 2k_e \frac{{qQ}}{{r^3 }}\Delta r = c_3 z</math>. Так как <math>\Delta r = z</math>, а
<math>r = d_0 </math>, то <math>c_3 = - 2k_e \frac{{qQ}}{{d_0^3 }}</math>.
Строка 324:
<math>\Delta \omega _0 = \omega '_0 - \omega _0 = \omega _0 \left( {\sqrt {1 - \frac{{c_3 }}{{m\omega _0^2 }}} - 1} \right) \approx - \frac{1}{2}\frac{{c_3 }}{{m\omega _0^{} }} = k_e \frac{{qQ}}{{m\omega _0^{} d_0^3 }}</math>.
<math>d_0 = \sqrt[3]{{\frac{{k_e qQ}}{{m\omega _0 \Delta \omega _0 }}}} \approx 41{\kern 1pt} \,</math>
| |||