46-я Международная математическая олимпиада: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Karagota (обсуждение | вклад) |
Karagota (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 12:
===Задача 2.===
Пусть <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, - последовательность целых чисел, в которой содержится бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Известно, что для каждого натурального <math>n</math> все <math>n</math> остатков от деления чисел <math>a_1
===Задача 3.===
Пусть <math>x, y</math> и <math>z</math> - положительные числа такие, что <math>xyz \ge 1
<math>\frac{{x^5 - x^2}}{{x^5 + y^2 + z^2}} + \frac{{y^5 - y^2}}{{y^5 + z^2 + x^2}} + \frac{{z^5 - z^2}}{{z^5 + x^2 + y^2}} \ge 0
===Задача 4.===
Последовательность <math>a_1
===Задача 5.===
Дан выпуклый четырехугольник <math>ABCD
===Задача 6.===
Строка 36:
===Задача 2.===
Вначале несложно установить, что в последовательности каждое целое число встречается не более одного раза. Далее можно доказать по индукции, что для каждого <math>n</math> числа <math>a_1
===Задача 3.===
Строка 43:
В этом решении используется оценка
<math>\frac{{x^5 - x^2}}{{x^5 + y^2 + z^2}} + \frac{{x^5 - x^2}}{{x^3 (x^2 + y^2 + z^2)}} \ge \frac{{x^5 - yz}}{{x^2 + y^2 + z^2}}
Сложив три аналогичных неравенства, получаем, что утверждение задачи следует из верного неравенства
<math>x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0</math>
|