46-я Международная математическая олимпиада: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
Строка 12:
 
===Задача 2.===
Пусть <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, - последовательность целых чисел, в которой содержится бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Известно, что для каждого натурального <math>n</math> все <math>n</math> остатков от деления чисел <math>a_1,</math>, <math>a_2,</math>, ..., <math>a_n</math> на <math>n</math> различны. Докажите, что каждое целое число встречается в этой последовательности ровно один раз.
 
===Задача 3.===
Пусть <math>x, y</math> и <math>z</math> - положительные числа такие, что <math>xyz \ge 1.</math>. Докажите, что
 
<math>\frac{{x^5 - x^2}}{{x^5 + y^2 + z^2}} + \frac{{y^5 - y^2}}{{y^5 + z^2 + x^2}} + \frac{{z^5 - z^2}}{{z^5 + x^2 + y^2}} \ge 0.</math>.
 
===Задача 4.===
Последовательность <math>a_1,</math>, <math>a_2,</math>, ... определена следующим образом: <math>a_n</math> = <math>2^n</math> + <math>3^n</math> + <math>6^n</math> - 1 (<math>n</math> = <math>1,2,</math>, ...). Найдите все натуральные числа, которые взаимно просты с каждым членом этой последовательности.
 
===Задача 5.===
Дан выпуклый четырехугольник <math>ABCD,</math>, стороны <math>BC</math> и <math>AD</math> которого равны, но не параллельны. Пусть <math>E</math> и <math>F</math> - внутренние точки отрезков <math>BC</math> и <math>AD</math> соответственно такие, что <math>BE</math> = <math>DF.</math>. Прямые <math>AC</math> и <math>BD</math> пересекаются в точке <math>P,</math>, прямые <math>BD</math> и <math>EF</math> пересекаются в точке <math>Q,</math>, прямые <math>EF</math> и <math>AC</math> пересекаются в точке <math>R.</math>. Рассмотрим треугольники <math>PQR,</math>, получаемые для всех таких точек <math>E</math> и <math>F.</math>. Докажите, что окружности, описанные около всех этих треугольников, имеют общую точку, отличную от <math>P.</math>.
 
===Задача 6.===
Строка 36:
 
===Задача 2.===
Вначале несложно установить, что в последовательности каждое целое число встречается не более одного раза. Далее можно доказать по индукции, что для каждого <math>n</math> числа <math>a_1,</math>, <math>a_2,</math>, ... <math>a_n</math> - это <math>n</math> последовательных целых чисел, взятых в некотором порядке.
 
===Задача 3.===
Строка 43:
В этом решении используется оценка
 
<math>\frac{{x^5 - x^2}}{{x^5 + y^2 + z^2}} + \frac{{x^5 - x^2}}{{x^3 (x^2 + y^2 + z^2)}} \ge \frac{{x^5 - yz}}{{x^2 + y^2 + z^2}}.</math>.
Сложив три аналогичных неравенства, получаем, что утверждение задачи следует из верного неравенства
<math>x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0</math>