Викиучебник

Интегральное исчисление/Некоторые часто используемые формулы: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Нет описания правки
м орфография, викификатор
Строка 1:
<center>'''Некоторые часто используемые формулы'''&nbsp; |&nbsp; [[Интегральное исчисление/Краткие сведения о комплексных числах|Краткие сведения о комплексных числах]]&nbsp; →</center>
----
 
 
В этой главе под буквами подразумеваются, если это не указано явно, не только действительные числа, но и другие математические объекты, для которых указанные операции имеют смысл, например, это могут быть многочлены и  т.  п.
 
== Основные законы алгебры ==
Строка 48:
В частности,
{{Формула|<math>\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}\Rightarrow\frac{\pm a_1\pm a_2\pm\ldots\pm a_n}{\pm b_1\pm b_2\pm\ldots\pm b_n}.</math>|Д1.20}}
(Знаки в знаменателе должны повторять соответсвующиесоответствующие знаки в числителе.)
 
== Правила обращения со степенями ==
Строка 64:
'''Бином Ньютона:'''
{{Якорь|ФормулаД1.28}}{{Формула|<math>(a+b)^n=a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\ldots+C_n^ka^{n-k}b^k+\ldots+b^n=\sum_{m=0}^n\binom{n}{m}a^{n-m}b^m,</math>|Д1.28}}
{{Якорь|РисунокД1.1}}[[Файл:PascalTriangleAnimated2.gif|thumb|'''Рисунок&nbsp; Д1.1.'''&nbsp; Первые 5 строк треугольника Паскаля.]]
где <math>C_n^m=\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}</math>  — количество сочетаний из <math>n</math> элементов по <math>m</math> в каждом, или ''биномиальные коэффициенты''; <math>n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n</math>  — факториал числа <math>n</math>. По определению, <math>0!=1</math>.
 
Для степени разности будем иметь:
Строка 81:
Формулу бинома можно обобщить на случай, так называемых ''мультиномов'':
{{Формула|<math>(a+b+\ldots+c)^n=\sum_{\begin{smallmatrix}k_1,\;k_2,\;\ldots,\;k_m\geqslant 0, \\ k_1+k_2+\ldots+k_m=n\end{smallmatrix}}\binom{n}{k_1,\;k_2,\;\ldots,\;k_m}a^{k_1}b^{k_2}\ldots c^{k_m},</math>|Д1.36}}
где <math>\binom{n}{k_1,\;k_2,\;\ldots,\;k_m}=\frac{n!}{k_1!k_2!\ldots k_m!}</math>  — ''обобщённые биномиальные коэффициенты'', или ''[[w:Мультиномиальный коэффициент|мультиномиальные коэффициенты]]''.
 
В частности,
Строка 121:
 
== Абсолютная величина ==
{{Якорь|РисунокД1.2}}[[Файл:Absolute value.svg|thumb|'''Рисунок&nbsp; Д1.2.''' График функции <math>\scriptstyle{y=|x|}</math>.]]
'''Абсолютной величиной''', или '''модулем''' <math>|x|</math> называется вещественнозначная непрерывная [[w:Кусочно-линейная функция|кусочно-линейная функция]] ('''[[#РисунокД1.2|рисунок&nbsp; Д1.2]]''') такая, что
{{Формула|<math>|x|=\begin{cases}x, & x\geqslant 0; \\ -x, & x<0.\end{cases}</math>|Д1.52}}
Альтернативное определение:
Строка 128:
'''[[Интегральное исчисление/Краткие сведения о комплексных числах#Модуль и аргумент комплексного числа|Модулем]] комплексного числа <math>z=x+yi</math>''' называется выражение вида:
{{Формула|<math>|z|=|x+yi|=\sqrt{(\mathrm{Re}\,z)^2+(\mathrm{Im}\,z)^2}=\sqrt{x^2+y^2}.</math>|Д1.53}}
{{Якорь|РисунокД1.3}}[[Файл:Geometrical interpretation of the absolute value.svg|thumb|'''Рисунок&nbsp; Д1.3.''' Геометрическая интерпретация модуля.]]
Геометрически ('''[[#РисунокД1.3|рисунок&nbsp; Д1.3]]''') модуль числа <math>|x_1-x_2|</math> равен расстоянию между точками <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности, <math>|x|</math>  — это расстояние от точки [[w:Вещественное число|вещественной прямой]] с координатами <math>x</math> до начала координат <math>O</math>.
 
=== Свойства ===
Строка 184:
где <math>n\neq m</math>, можно найти по формулам, аналогичным указанным выше, если предварительно представить исходное выражение как:
{{Формула|<math>S=\sqrt[k]{X^p}\pm\sqrt[k]{Y^s},</math>|Д1.78}}
где <math>k</math>  — [[w:Наименьшее общее кратное|наименьшее общее кратное]] (НОК) чисел <math>m</math> и <math>n</math>; <math>p=\frac{k}{n},\;s=\frac{k}{m}</math>.
 
Также для преобразований бывает полезна формула сложного радикала:
Источник — https://ru.wikibooks.org/wiki/Интегральное_исчисление/Некоторые_часто_используемые_формулы