Размер и размерность: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 43:
 
На каждом шаге площадь фигуры уменьшается на 1/9, т.е., если мы начали с единичного квадрата, площадь фигуры на шаге номер N равна <math>S = \left( {\frac{8}{9}} \right)^N </math>. А площадь получающегося в результате фрактала равна <math>S = \frac{8}{9} \times \frac{8}{9} \times \cdots \times \frac{8}{9} \cdots = 0</math>. Может быть, там вовсе нет никакой фигуры, раз площадь оказалась нулевой? Нет, мы можем доказать, что выкинуты оказались не все точки квадрата (докажите это в качестве упражнения, при этом удобно использовать троичную систему счисления, для записи координат точек квадрата). Для такой фигуры нетривиальное (конечное) значение будет иметь не длина периметра (бесконечная), и не площадь (нулевая), а некая мера («мера Минковского»), измеряющееся в единицах 1см<sup>d</sup> Если принять, что мера Минковского для квадрата <math>a \times a</math> равна <math>a^d </math>, то мера салфетки Серпинского оказывается равна 1 (на шаге номер N мы имеем <math>8^N </math> квадратиков со стороной <math>(1/3)^N </math>
и мера S<sub>Минк.N</sub> = 8<sup>N</sup>×((1/3)<sup>N</sup>)<sup>d</sup>=1).