Теория музыки для математиков/Тональный ряд: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Azaostro (обсуждение | вклад) м →Ноты: орфография |
Byzantine (обсуждение | вклад) орфография, викификатор |
||
Строка 2:
Теперь обратимся к последовательностям из элементов тонального множества (назовем их тональными последовательностями). Будем рассматривать (пока) лишь конечные последовательности (последовательности длины N).
Обращением последовательности (x1, x2,
Отношение «быть обращением» является отношением эквивалентности на множестве тональных последовательностей (рефлексивность, симметричность и транзитивность нетрудно проверить).
Тональным подмножеством назовем подмножество тонального множества. Любому такому множеству можно поставить в соответствие последовательность, если расставить элементы множества в возрастающем порядке. Такую последовательность назовем стандартной. Обратно
Особое место занимает класс порождающих тональных подмножеств.
Порождающим тональным подмножеством называется тональное подмножество, расстояния между соседними элементами которого не превышает тона. (Соседство понимается в стандартной последовательности множества, последний элемент является соседним с первым.)
Строка 12:
=== Лемма 1 ===
Чтобы <math>S \subset T</math> являлось порождающим множеством в T необходимо и достаточно чтобы любой элемент t из T либо сам лежал в S, либо #t и @t лежали в S (и соответственно t мог бы быть представлен повышением/понижением на полтона какого-либо элемента из S).
'''Доказательство.'''<br>
''Необходимость.'' Пойдем от противного. Возьмем t из T. Пусть <math> t \notin S </math>. Возьмем элементы #t и @t. По нашему допущению хотя бы один из них не лежит в S. Без ограничения общности положим, что #t не лежит в S. Возьмем наибольший элемент из S, не превосходящий @t и наименьший элемент из S, превосходящий #t. Расстояние между ними строго больше 2 (между ними как минимум t и #t)
''Достаточность.'' Опять от противного. Пусть <math> \forall t \in T : t \in S \lor \#t \in S \lor \flat t(=t-1) \in S</math> и S
<center> <math> \exist t^* \in S : \#t \notin S \land \#\#t \notin S \land \#\#\#t \notin S </math>. </center>
Пусть <math> x = \#\#t = t+2 </math>. Тогда
<center> <math>x \in T, \quad x = \#\#t \notin S, \#x=\#\#\#t \notin S, \flat x = \#t \notin S </math>, </center>
что противоречит первой посылке. Достаточность доказана.
=== Лемма 2 ===
Если n
'''Доказательство.''' Обозначим через x
x + 2y = 12
Строка 40:
=== Лемма 3 ===
Количество различных порождающих множеств мощности n равно
<center><math> \frac{n!}{(12-n)!(2n-12)!}\quad (6) </math></center>
'''Доказательство.''' В нашей последовательности из n элементов встречается x полутонов. Количество способов, которыми можно выбрать места, на которых встречаются полутоны в последовательности есть <math> C_n^x = \frac{n!}{x! (n-x)!}</math>. На остальных местах тогда стоят целые тоны. Подставив вместо x результаты из предыдущей леммы получаем желаемое.
Тот же результат получается, если рассуждать не о полутонах, а о тонах
== Ноты ==
Особую роль играют порождающие множества мощности 7.
Интересный вопрос
При n=7 мы имеем x = 2 и y = 5, а количество различных порождающих множеств
Рассмотрим класс тональных последовательностей x1,
* N = 7
* последовательность строго возрастающая,
* интервал между соседними элементами последовательности не превышает одного целого тона (
Пример такой последовательности: (0, 2, 4, 5, 7, 9, 11)
Строка 74:
===========================
В англоязычной традиции принято обозначать 11-ый звук не H, а B. В русской и немецкой традиции
По лемме 1 все другие звуки могут быть получены из звуков главного множества понижением или повышением на полтона:
|