Интегральное исчисление/Краткие сведения о комплексных числах: различия между версиями

{{Якорь|ФормулаД2.114}}{{Формула|<math>z^k=r^k(\cos k\varphi+i\sin k\varphi),\quad k\in\Z.</math>|Д2.114}}
{{Доказательство|свойства Д2.18|
Для натуральных <math>k=n\;(n\in\N)</math> справедливость формулы Муавра следует из формул ([[#ФормулаД2.87|Д2.87]]) и ([[#ФормулаД2.100|Д2.100]]). Для целых отрицательных <math>k=-n\;(n\in\N)</math> (с учётом [[#ФормулаД2.102|Д2.102]]) выражение ([[#ФормулаД2.114|Д2.114]]) можно записать, как
{{Формула|если <math>z^kr=|z|</math>, тогда <math>|z^{-n}|=\frac{1}{zr^n}=\frac{1}{\left(r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right)^-n}=\frac{1}{r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)}=k;</math>}}
{{Формула|если <math>\varphi=\fracmathrm{Arg}\cos,z</math>, n\varphi-i\sinтогда n<math>\varphimathrm{Arg}{r^n\left(\cos^2n\varphi+i\sin^2n\varphi\right)}=r,z^{-n}=-\left(mathrm{Arg}\cos(,z^n=-n\varphi)+imathrm{Arg}\sin(,z=-n\varphi)\right)=r^k(\cos k\varphi+i\sin k\varphi).</math>|Д2.115}}}}
Формулу Муавра также можно применять для нахождения корней из комплексных чисел.
 
645

правок