Что такое вычислительная математика: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 166:
=== Задача 3 (башня из степеней). ===
Рассмотрим функцию <math>f(x) = x^{x^{x^ {\cdot ^ {\cdot^ \cdot } } }} \,\!</math>. Эта функция представляет собой бесконечную башню степеней. При некоторых <math>x</math> такая бесконечная конструкция имеет смысл. Видно, что <math>f(x) = x^{f(x)} \,\!</math>. Это значит, что при <math>f(x) = a\,\!</math>
имеем <math>a = x^a \,\!</math>
и <math>x = a^{1/a} \,\!</math>
Строка 178:
, <math>F_{1002} (x)\,\!</math>
, <math>F_{1003} (x)\,\!</math>
на интервале (0;3). Из вида этих графиков сделайте выводы. При каких <math>x</math> определена функция <math>f(x)\,\!</math>
, то есть при каких <math>x</math> значения <math>F_n (x)\,\!</math>
при увеличении <math>n</math> становятся все ближе и ближе друг к другу и к некоторому фиксированному числу?
Когда числа из последовательности <math>a_1 ,\;a_2 ,\;\; \ldots ,\;a_n ,\; \ldots \,\!</math>
приближаются к некоторому числу <math>A</math>, то говорят, что '''последовательность''' <math>a_i \,\!</math>
'''имеет предел''' <math>A</math> и пишут
<math>a_n \to A\,\!</math>
при <math>n \to \infty \,\!</math>.
Уточним это понятие: какое бы маленькое положительное число <math>\varepsilon \,\!</math>
мы не выбрали, всегда найдется такой элемент последовательности <math>a_M \,\!</math>
, что он сам и все элементы последовательности после него оказываются удалены от числа A не более чем на <math>\varepsilon \,\!</math>
: <math>|a_M - A| < \varepsilon ,\quad |a_{M + 1} - A| < \varepsilon ,\quad |a_{M + 2} - A| < \varepsilon ,\quad |a_{M + 3} - A| < \varepsilon ,\quad \ldots \,\!</math>▼
▲<math>|a_M - A| < \varepsilon ,\quad |a_{M + 1} - A| < \varepsilon ,\quad |a_{M + 2} - A| < \varepsilon ,\quad |a_{M + 3} - A| < \varepsilon ,\quad \ldots \,\!</math>
Последний вопрос нашей задачи можно переформулировать так: при каких значениях <math>x</math> у последовательности <math>a_1 = F_1 (x),\;a_2 = F_2 (x),\;a_3 = F_3 (x),\; \ldots \,\!</math>
есть предел, то есть существует некоторое число A, зависящее от <math>x</math>, к которому стремится последовательность <math>a_i = F_i (x)\,\!</math>?
==Примечания==
| |||