Что такое вычислительная математика: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 21:
== Как вычислительная математика решает прикладные задачи ==
Во многих прикладных задачах искомым результатом является не одно число, а целая функция на отрезке. А как описать произвольную функцию на компьютере? Самый простой способ — это хранить значения функции в нескольких точках и «в уме» соединять их гладкой кривой.
Таким образом, отрезок может рассматриваться как система нескольких выбранных точек <math>\left\{ {x_k } \right\}_{k = 0}^K\,\!</math>, а непрерывная функция — как набор <math>\left\{ {f_k } \right\}_{k = 0}^K\,\!</math> значений функции в этих точках. Очень важный объект <math>f'(x)\,\!</math> — производная функции в точке <math>x</math> — характеризует угол наклона прямой, касающейся графика функции. Вместо него приходится использовать отношение <math>{{f_{k + 1} - f_k } \over {x_{k + 1} - x_k }}\,\!</math>, где <math>x_k \,\!</math> и <math>x_{k + 1}\,\!</math> ближайшие к <math>x\,\!</math> выбранные точки. При решении задач на компьютерах приходится приближать не только числа, но и сами задачи несколько «огрублять» и вместо идеальных непрерывных объектов рассматривать их дискретные приближения. Этот вынужденный шаг называется '''аппроксимацией задачи'''.
Как узнать, насколько адекватные результаты даёт компьютерная модель, которую вы построили, или, как принято говорить у вычислительных математиков, имеется ли сходимость решения модели к решению исходной «непрерывной» задачи? Кроме ряда сложных и красивых теорем, есть несколько простых хитростей, которые позволяют определить адекватность вашей модели:
Строка 29:
#'''Обусловленность'''. В вычислительной практике большое значение имеет чувствительность решения к малым изменениям входных данных. Задача называется плохо обусловленной, если малые изменения входных данных приводят к заметным изменениям решения. Измерить эту обусловленность на практике очень просто. Нужно просто попробовать чуть-чуть поменять входные данные и посмотреть, как меняется результат. Собственно, нужно выяснить, с какой погрешностью заданы входные данные, и экспериментально проверить в каких пределах меняется результат при варьировании входных данных в пределах их погрешности.
#'''Зависимость от алгоритма и модели'''. Есть ещё один источник неадекватности численных результатов, полученных на компьютере. Это неточность выбранной модели и алгоритма вычисления. Здесь всё несколько сложнее, нежели в предыдущих пунктах. Но для богатых заказчиков можно предложить надёжное решение — следует дать одну и ту же задачу нескольким группам прикладных математиков. Они, скорее всего, построят разные модели и будут пользоваться разными алгоритмами. Если все выдадут один и тот же результат, значит задача хорошая — она устойчива к выбору модели и алгоритма, и не так важно каким способом её решать. Конечно, бывают и такие случаи, когда все делают одну и ту же ошибку. У начинающих вычислительных математиков есть несколько таких излюбленных ошибок.<br/>
Разумеется, если есть возможность сравнить результаты расчета с экспериментальными, то такие сравнения являются поводом для подтверждения верности расчетов. Что же касается исследования численных методов на аппроксимацию — то эта теория достаточно хорошо разработана, однако без вычислительных ошибок численных решений не бывает. Вопрос заключается в том, значительны ли они или незначительны, что, впрочем, также можно оценить.
Строка 57:
\,\!</math>
коэффициент при <math>x^{19}</math> изменить на малую величину порядка <math>
10^{ - 7}
\,\!</math>
| |||