Аффинные преобразования: различия между версиями

м
clean up, removed: Категория:Математика с помощью AWB
м (clean up, removed: Категория:Математика с помощью AWB)
Такие равномерные растяжения (сжатия) называются
''аффинными преобразованиями''.
 
 
{{Рамка}} <b>Определение 1.</b>
 
'''Рисунок 2. Примеры аффинных преобразований.'''
 
 
Обозначим множество движений плоскости как <math>Mot\,\!</math>, а
если отрицательный — то по разные.
{{Акмар}}
 
 
 
[[Файл:stretch.jpg]]
а преобразование <math>f\,\!</math> обратно преобразованию <math>g\,\!</math>, то
<math>f\,\!</math> и <math>g\,\!</math> взаимно однозначные преобразования.
 
 
 
{{Рамка}} <b>Определение 4.</b>
 
Растяжение (сжатие) относительно прямой есть аффинное преобразования.
 
 
''Доказательство.''
Композиция аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование:
<math>f,g\in Aff \Rightarrow (f\circ g)\in Aff \,\!</math>
 
Мы здесь использовали значок «<math>\circ\,\!</math>» композиции. Выражение
читать как «принадлежит», то есть «содержатся внутри как
элемент».
 
 
[[Файл: parprojection.jpg]]
 
Конец решения
 
 
Как вы узнали из задачи 2(ссылка), растяжение
 
''Задача 4[8]''
 
 
Какое преобразование обратно гомотетии с коэффициентом
другую, параллельную ей плоскость с помощью центрального пучка
лучей.</b>
 
 
''Обозначения 1''
 
Докажите, что при гомотетии все расстояния увеличиваются (уменьшаются)
 
 
''Задача 8[9]''
Аналогичные рассуждения для двух вершин правильного треугольника,
которые равноудалены от третьей.
 
 
''Задача 9[10]''
Докажите, что композиция двух гомотетий есть снова гомотетия, причем
центры всех трех гомотетий лежат на одной прямой.
 
 
''Задача 10[10]''
 
[[Файл:Aff1.jpg|center]]
 
 
 
Эти два свойства являются определяющими свойствами аффинных преобразований.
#Аффинные преобразования сохраняют «прямоту» линий.
#Инверсии сохраняют свойство «круглоты».
 
 
''Задача 11[9]''
 
Докажите, что при аффинном преобразовании
 
<math>5^\circ\,\!</math> пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся,
пересекающиеся прямые не могли перейти в параллельные.
То, что параллельные не могут перейти в пересекающиеся, докажите самостоятельно.
 
 
''Задача 12[9]''
 
'''Рисунок 7. Отношение площадей сохраняется.'''
 
 
Следующее важное свойство касается площади.
<center><math>9^\circ \quad f\in Aff,\;\; {F'}_1=f(F_1),\; {F'}_2=f(F_2)\; \Rightarrow \; \frac{S_{F_1}}{S_{F_2}} = \frac{S_{{F'}_1}}{S_{{F'}_2}}\,\!</math></center>
{{Акмар}}
 
 
[[Файл:equalintervals.jpg|center]]
Покажите, что с помощью сжатия(растяжения) относительно одной
из сторон из любого треугольника можно сделать равнобедренный.
 
 
''Задача 17[8]''
Покажите, что с помощью сжатия(растяжения) относительно основания
из равнобедренного треугольника можно сделать правильный.
 
 
''Задача 18[8]''
<math>A'B'C'\,\!</math>, то существует аффинное преобразование, которое переводит
первый треугольник во второй.
 
 
''Подсказка'' Обратите внимание на свойство <math>4^\circ\,\!</math> — «обратное к аффинному аффинно»,
Докажите, что не из всякого пятиугольника (шестиугольника)
можно сделать правильный пятиугольник(шестиугольник).
 
 
''Задача 22[8]''
 
Докажите, что из круга нельзя сделать квадрат, а из квадрата нельзя сделать треугольник.
 
 
''Задача 23[11]''
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон.
Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно
 
 
<b>Определение 6.</b>
 
Докажите, что эти два определения эллипса равносильны.
 
 
''Подсказка'' Эта задача включает в себя две задачи. Сначала нужно показать,
так, что в итоге получится преобразование, которое
все точки на этих прямых переводит в себя.
 
 
''Задача 29[10]''
все точки на двух пересекающихся прямых, то это преобразование
все остальные точки плоскости тоже оставляет неподвижными.
 
 
''Задача 30[8]''
Докажите, что из любой трапеции афинными преобразованиями можно
сделать равнобокую трапецию.
 
 
''Задача 31[8]''
 
Докажите, что из любого прямоугольника можно сделать квадрат.
 
 
''Задача 32[8]''
 
Докажите, что из любого треугольника можно сделать прямоугольный треугольник.
 
 
''Задача 33[8]''
Докажите, что из любого параллелограмма можно
сделать квадрат.
 
 
<b>Определение 8.</b>
которые можно получить из параболы <math>y=x^2\,\!</math> при помощи аффинных
преобразований.
 
 
<b>Определение 9.</b>
пересекаются в одной точке в силу симметрии. Значит, в исходном
треугольнике они тоже пересекались в одной точке.
 
 
Попробуйте обобщить результат задачи 36 на случай не
Докажите, что три медианы делят треугольник на <math>6\,\!</math>
равновеликих треугольников.
 
 
Обычно, задачу можно решить методом аффинных преобразований,
 
''Подсказка'' Превратите треугольник <math>ABC\,\!</math> в правильный и
используйте поворот вокруг центра <math>ABC\,\!</math> на <math>60^\circ\,\!</math>.
 
''Задача 40[10]''
прямыми <math>AA_1\,\!</math>, <math>BB_1\,\!</math>, <math>CC_1\,\!</math> из предыдущей задачи,
пересекаются в той же точке, что и медианы треугольника <math>ABC\,\!</math>.
 
 
 
''Задача 41[10]''
шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной
точке.
 
 
 
''Задача 42[11]''
Докажите, что прямые <math>b\,\!</math>, <math>c\,\!</math>, <math>d\,\!</math> проходят через одну точку.
 
[[Категория:Математика]]
{{Готовность|75%}}
 
[[Категория:{{Темы|Математика]]}}
531

правка