Комплексные числа: различия между версиями

== Какие числа бывают ==

 

Прежде, чем изучать новые, комплексные числа, давайте вспомним числа,

Их обозначают <math>\,\! Re\ z </math> и <math>\,\! Im\ z </math> соответственно:

<center> <math>\,\! a = Re\ z, \quad b= Im\ z. </math></center>

Таким образом, комплексное число задается двумя действительными числами.

Если интерпретировать эти числа как декартовы координаты, то

как если бы мнимая единица <math>\,\! i </math> была переменной (а комплексные числа — многочленами от этой переменной),

при этом <math>\,\! i^2=-1 </math>.

 

==== Задача 7[9] ====

<center> <math>\,\! \overline{z}=a-b\cdot i </math></center>

называется ''''' комплексно-сопряженным''''' или просто ''''' сопряженным''''' к числу <math>\,\! z </math>.

Комплексное число <math>\,\! z </math> и комплексно-сопряженное к нему число <math>\,\! \overline{z} </math>

отличаются знаком мнимой части, действительная часть у них одинаковая:

<center> <math>\,\! |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\cdot \overline{z}} </math></center>

— длина отрезка <math>\,\! Oz </math> на комплексной плоскости.

Посмотрите на рисунок 2. Модуль числа <math>\,\! |z| </math> — это длина

отрезка <math>\,\! Oz </math>.

<i>Модуль комплексного числа есть неотрицательное действительное число.

Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю.</i>

 

==== Задача 36[8] ====

{{Рамка}}

''Модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей.''

 

=== Деление ===

— на него мы делить умеем:</i>

<center> <math>\,\! \frac{v}{w}=\frac{v\overline{w}}{w\overline{w}}=\frac{v\overline{w}}{|w|^2}. </math></center>

 

== Абстрактный подход ==

<center> <math>\,\!

(a_1,\; b_1)\times (a_2,\; b_2) = (a_1\cdot a_2 - b_1\cdot b_2, \;\; a_1\cdot b_2 + b_1\cdot a_2). </math></center>

 

==== Задача 38[9] ====

[1]<center> <math>\,\! z\times v = w </math></center>

относительно <math>\,\! z </math> имеет ровно одно решение.

 

Это решение обозначим как частное: <center> <math>\,\! \frac{w}{v}. </math></center>

Комплексное число с модулем <math>r</math> и аргументом <math>\phi</math>

мы будем обозначать как <center><math>r\cdot e^{i \phi}.</math></center>

 

==== Задача 57[9] ====

{{Рамка}}

<center><math>e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi.</math></center>

 

==== Задача 58[9] ====

При умножении двух комплексных чисел их модули умножаются а аргументы складываются:

<center><math>(r_1\cdot e^{i \phi_1})\cdot (r_2\cdot e^{i \phi_2}) = (r_1\cdot r_2)\cdot e^{i(\phi_1+\phi_2)}.</math></center>

 

Доказательство теоремы отложим на потом.

где <math>w</math> — некоторое комплексное число. Найдите все комплексные числа <math>z</math>,

удовлетворяющие этому уравнению.

 

[[Файл:complex13.jpg]]

 

<center><math>z_k = z_0\cdot e^{k\frac{2\pi}{n}}, \quad k=1,\,2, \ldots, n-1.</math></center>

 

Докажите эту теорему самостоятельно.

 

<center><math>P(x) = Q(x) \cdot D(x).</math></center>

 

==== Задача 72[9] ====

и операция умножения — обычное умножение многочленов, после которого берется остаток

при делении результата умножения на <math>p(x)</math>.

 

==== Задача 89[9] ====

<center><math>q(x)\; {\rm mod} \; p(x)</math></center>

означает остаток при делении <math>q(x)</math> на <math>p(x)</math>.

 

==== Задача 90[9] ====

Многочлен называется ''''' неприводимым''''', если он не может быть разложен в произведение

многочленов степени больше <math>0</math>.

 

==== Задача 95[11] ====

<center><math>A+B = \begin{pmatrix}a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22} + b_{22}\end{pmatrix}.</math></center>

<center><math>A \times B = \begin{pmatrix}a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}.</math></center>

'''Примечание'''

 

Матрица

 

 

==== Задача 98[9] ====

Введем обозначение:

<center><math>\mathbb{I}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.</math></center>

 

==== Задача 99[9] ====

Например:

<center><math>2\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \quad a\cdot \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 2a \\ 0 & a \\ \end{pmatrix}.</math></center>

 

==== Задача 100[9] ====

Матрица <math>B</math> называется ''''' обратной''''' к матрице <math>A</math>, если

<center><math>A\times B = B\times A = E.</math></center>

 

==== Задача 106[9] ====