Аффинные преобразования: различия между версиями

разные точки переводит в разные, и в каждую точку переходит

какая-то точка.

 

<div style="width:50%; float:right; border: 1px navy dotted; padding:10pt;">

Множество движений есть подмножество множества аффинных преобразований.<br />

<center><math>Mot \subset Aff.\,\!</math></center>

 

''Доказательство.''

<math>M\,\!</math> и <math>M'\,\!</math> лежат по одну сторону от прямой <math>l\,\!</math>,

если отрицательный — то по разные.

 

 

возвращает на свои места. Если преобразование <math>f\,\!</math> точку <math>A\,\!</math> переводит в точку <math>B\,\!</math>,

то обратное преобразование точку <math>B\,\!</math> переводит в точку <math>A\,\!</math>.

 

''Утверждение 2.''

 

 

 

<b>Рисунок 4. При параллельном проектировании с одной плоскости на

Другими словами,

<center><math>\vec{OM'}=k\cdot\vec{OM}.\,\!</math></center>

 

''Задача 3[8]''

Эти два свойства можно обозначить так:

 

 

 

<center><math>3^\circ\quad f,g\in Aff \Rightarrow (f\circ g)\in Aff. \,\!</math><br />

<math>4^\circ\quad f\in Aff \Rightarrow f^{-1} \in Aff.\,\!</math></center>

 

Следующие свойства относятся к классу «законов сохранения»,

Эти свойства можно обозначить так:

 

 

Решение

<math>8^\circ\,\!</math> трапеция переходит в трапецию:

 

 

 

'''Рисунок 7. Отношение площадей сохраняется.'''

Это свойство можно записать так:

<center><math>9^\circ \quad f\in Aff,\;\; {F'}_1=f(F_1),\; {F'}_2=f(F_2)\; \Rightarrow \; \frac{S_{F_1}}{S_{F_2}} = \frac{S_{{F'}_1}}{S_{{F'}_2}}\,\!</math></center>

 

 

 

'''Рисунок 8. Отношение длин отрезков на прямой сохраняется.'''

правильного треугольника из него можно получить правильный треугольник с единичной стороной.

 

 

'''Рисунок 9. Превращение треугольника в правильный.'''

 

<center><math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \quad a\ne 0, b\ne 0.\,\!</math></center>

 

<b>Определение 7.</b>

{{Рамка}}

'''Эллипс''' — это фигура, которую можно получить из круга, применяя аффинное преобразование.

 

''Задача 24[10]''

имеет уравнение

<center><math>y=ax^2+bx+c,\quad a\ne 0.\,\!</math></center>

 

''Задача 34[11]''

или <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, \quad a\ne 0, b \ne 0.

\,\!</math></center>

 

''Задача 35[11]''