Теория музыки для математиков/Физические основы звука: различия между версиями

нет описания правки
Нет описания правки
Нет описания правки
<math>{\partial ^2u \over \partial t^2} = a^2{\partial ^2u \over \partial x^2} \qquad a=\sqrt{T/\rho}</math></center>
 
Здесь <math>t\,\!</math> - время; <math>x\,\!</math> - координаты некой точки на струне в момент времени <math>t\,\!</math>; <math>{u = f(x,t)}\,\!</math> - функция отклонения точки <math>x\,\!</math> в момент времени <math>t\,\!</math> от положения равновесия; <math>a\,\!</math> - коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны; <math>T\,\!</math> - сила натяжения струны; <math>\rho\,\!</math> - плотность однородной струны. Предполагается, что струна совершает малые колебания в одной плоскости.
 
Волновое уравнение есть не что иное, как следствие второго закона Ньютона. Левая часть - ускорение струны в точке x, а правая часть - отнесенная к массе струны сила, вызывающая это ускорение, которая тем больше, чем больше вогнутость струны <math>{\partial ^2u \over \partial x^2}</math>.
 
Отсюда видно, что каждая функция u<sub>n</sub> представляет собой гармоническое колебание с частотой
<math>\omega_n = {{n\pi a} \over l}</math> и фазой <math>\phi_n\,\!</math>. Амплитуда же колебаний для разных точек разная. На концах струна неподвижна. Все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в ту или другую сторону и одновременно проходят положения равновесия. Такие колебания называются ''стоячими волнами''. Неподвижные точки называются ''узлами'' стоячей волны. Посредине между узлами расположены точки, в которых отклонения достигают максимума. Эти точки назывются ''пучностями'' стоячей волны.
 
<br>
<div style="border: 1px solid #00F; margin: auto 30px; padding: 5px; text-align: center;">
Вывод: колебание конечной струны представляет собой бесконечную сумму стоячих волн <math>u_n(x,t)\,\!</math>, каждая из которых имеет постоянную частоту колебания <math>\omega_n={{n\pi a} \over l}</math> и изменяющуюся по длине струны амплитуду <math>A_n(x)=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\sin{{n\pi \over l} x}</math>. В <math>k\,\!</math>-й стоячей волне имеется <math>k\,\!</math> пучностей и <math>(k+1)\,\!</math> узлов.
</div>
<br>
===Интервалы===
 
Итак, мы теперь рассматриваем звуки, обладающие некоторой основной частотой <math>f\,\!</math>. Обертонами мы обычно будем пренебрегать, кроме некоторых случаев, когда они важны.
 
В музыке нам интересен не конкретный звук в отдельности, а соотношения звуков друг к другу. Под ''интервалом'' понимается расстояние между двумя звуками. При этом нижний звук (с меньшей частотой) называется ''основанием'' интервала (f<submath>1f_1\,\!</submath>), а верхний звук (с большей частотой) – его ''вершиной'' (f<sub>2</sub>). Расстояние можно измерять по-разному, поэтому существуют разные понятия интервала, которые, иногда, одинаково обозначаются в музыке, что привносит путаницу. На физическом уровне у нас есть только частоты. ''Акустическим интервалом'' (или ''интервальным коэффициентом'') между двумя звуками назовем частное от деления частоты вершины на частоту основания:
 
<center> <math>{I_{21}={f_2 \over f_1}\ (f_2 \ge f_1)}</math> </center>
Анонимный участник