Интегральное исчисление/Интегрирование полиномиальных и рациональных функций: различия между версиями

м
и подставим его в ([[#Формула6.122|6.122]]):
{{Якорь|Формула6.124}}{{Формула|<math>\int\frac{U(x)}{[V(x)]^k}\,dx=\int\frac{M(x)V(x)+N(x)V'(x)}{[V(x)]^k}\,dx=\int\frac{M(x)}{[V(x)]^{k-1}}\,dx+\int\frac{N(x)V'(x)}{[V(x)]^k}\,dx.</math>|6.124}}
Проинтегрируем по частям для второе слагаемое, положив <math>u=N(x)</math> и <math>dv=\frac{V'(x)}{[V(x)]^k}\,dx</math>, тогда <math>du=N'(x)\,dx</math>, а <math>v=\int\frac{V'(x)}{[V(x)]^k}\,dx=\frac{d[V(x)]}{[V(x)]^k}=-\frac{1}{(nk-1)[V(x)]^{k-1}}</math>. Подставив эти выражения в ([[#Формула6.124|6.124]]), будем иметь:
{{Формула|<math>\int\frac{M(x)}{[V(x)]^{k-1}}\,dx+\int\frac{N(x)V'(x)}{[V(x)]^k}\,dx=\int\frac{M(x)}{[V(x)]^{k-1}}\,dx-\frac{N(x)}{(k-1)[V(x)]^{k-1}}+\frac{1}{nk-1}\int\frac{N'(x)}{[V(x)]^{k-1}}\,dx.</math>|6.125}}
Объединяя первое и третье слагаемое в один интеграл, получим:
{{Формула|<math>\int\frac{U(x)}{[V(x)]^k}\,dx=-\frac{N(x)}{(k-1)[V(x)]^{k-1}}+\int\frac{T(x)}{[V(x)]^{k-1}}\,dx,</math>|6.126}}
645

правок